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Disjunktive Normalform DNF von \( ((A \land B) \lor C) \land (\lnot B \lor D) \) bilden
Um die disjunktive Normalform (DNF) von \( ((A \land B) \lor C) \land (\lnot B \lor D) \) zu bilden, müssen wir die gegebene Formel so umformen, dass sie eine Disjunktion von Konjunktionen wird. Dazu kann das Distributivgesetz angewandt werden, sowie andere Logikgesetze wie De Morgans Gesetze und das doppelte Negationsgesetz. Der von dir erwähnte Ansatz bezieht sich jedoch auf die Konjunktive Normalform (KNF) und nicht auf die DNF. Die Umformung für die DNF erfordert andere Schritte.
Gegeben ist die Formel:
\(
((A \land B) \lor C) \land (\lnot B \lor D)
\)
1.
Distributivgesetz anwenden:
Zunächst wenden wir das Distributivgesetz \( P \land (Q \lor R) = (P \land Q) \lor (P \land R) \) an, um die Formel so umzuwandeln, dass sie eher der DNF ähnelt. Hierbei müssen wir das Distributivgesetz mehrmals anwenden um jede Konjunktion (\(\land\)) und Disjunktion (\(\lor\)) korrekt umzuformen. Wir betrachten zunächst die inneren Terme und arbeiten uns nach außen.
Zuerst betrachten wir \( (A \land B) \lor C \) und \( \lnot B \lor D \), aber aufgrund der Struktur der Ausgangsformel \( ((A \land B) \lor C) \land (\lnot B \lor D) \), benötigen wir eine andere Strategie, in die wir direkt das Distributivgesetz auf die gesamte Formel anwenden, berücksichtigen dabei aber, dass der äußere Term bereits eine Konjunktion zweier Terme ist:
\(
((A \land B) \lor C) \land (\lnot B \lor D) = ((A \land B) \land (\lnot B \lor D)) \lor (C \land (\lnot B \lor D))
\)
2.
Weitere Umformung durch Distributivgesetz:
Wir wenden das Distributivgesetz weiterhin getrennt auf beide Teile der Disjunktion an:
- \( (A \land B) \land (\lnot B \lor D) = ( (A \land B \land \lnot B) \lor (A \land B \land D) ) \)
Hier vereinfacht \(B \land \lnot B\) zu \(False\), also existiert der Term nicht in der endgültigen DNF, weil er stets falsch ist. Das lässt uns mit \( (A \land B \land D) \).
- \( C \land (\lnot B \lor D) = (C \land \lnot B) \lor (C \land D) \)
Diese Terme bleiben unverändert, da keine weitere Vereinfachung ohne spezifische Wertezuweisung möglich ist.
3.
Zusammensetzen der Teile:
Durch die obigen Schritte erhalten wir als DNF:
\(
(D \land A \land B) \lor (\lnot B \land C) \lor (D \land C)
\)
Dies ist die disjunktive Normalform der gegebenen logischen Ausdrucks. Die Umformung beinhaltete das Anwenden des Distributivgesetzes und das Vereinfachen, um alle Teile in einer Form zu erhalten, die ausschließlich aus einer Disjunktion von Konjunktionen besteht.
