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Erstellung eines Karnaugh-Veitch Diagramms für kanonische konjunktive Normalformen
Für die Erstellung eines Karnaugh-Veitch (KV)-Diagramms für die gegebene kanonische konjunktive Normalform (KKNF) mit vier Variablen nutzen wir die umgekehrte Logik im Vergleich zur kanonischen disjunktiven Normalform (KDNF). Anstatt die Einsen einzutragen, konzentrieren wir uns auf die Nullen. Denn während eine KDNF durch Einsen (wahre Zustände) bestimmt wird, ist eine KKNF durch Nullen (unwahre Zustände) charakterisiert.
Die gegebene KKNF lautet:
\(
(x_1 + !x_2 + x_3 + x_4) * (x_1 + x_2 + !x_3 + !x_4) * (x_1 + !x_2 + !x_3 + !x_4) * (!x_1 + !x_2 + !x_3 + !x_4)
\)
Im KV-Diagramm für 4 Variablen gibt es 16 Felder, die alle möglichen Kombinationen von \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\) und \(x_4\) repräsentieren. Bei der KKNF wird jedes Feld mit einer 0 markiert, wenn die zugehörige Variable eine Kombination erfüllt, die einer der Klammerausdrücke zu FALSE macht.
KV-Diagramm Eintragung:
Um die Felder zu markieren:
- Für \(x_1 + !x_2 + x_3 + x_4\), markieren wir keine Null, da dieser Ausdruck immer TRUE ist, außer \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 1\) gleichzeitig sind. Es entspricht der Kombination, wo alle anderen Zustände TRUE sind.
- Für \(x_1 + x_2 + !x_3 + !x_4\), markieren wir die Felder, die \(x_1 = 0\), \(x_2 = 0\), \(x_3 = 1\) und \(x_4 = 1\) kombinieren.
- Für \(x_1 + !x_2 + !x_3 + !x_4\), markieren wir die Felder, die \(x_1 = 0\), \(x_2 = 1\), \(x_3 = 1\) und \(x_4 = 1\) kombinieren.
- Für \(!x_1 + !x_2 + !x_3 + !x_4\), markieren wir die Felder, die \(x_1 = 1\), \(x_2 = 1\), \(x_3 = 1\) und \(x_4 = 1\) kombinieren.
Die genauen Felder hängen davon ab, wie \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\), und \(x_4\) im KV-Diagramm angeordnet sind, normalerweise wird eine Gray-Code Sequenz verwendet, wobei benachbarte Kombinationen sich nur in einer Variablen unterscheiden.
Vereinfachung:
1. Tragen Sie die Nullen entsprechend den Bedingungen in das KV-Diagramm ein.
2. Alle nicht markierten Felder (d.h. die mit 1) repräsentieren die Konjunktionen, die die Funktion TRUE machen, und müssen vereinfacht werden.
3. Suchen Sie nach Gruppen von 1en, die sich in einem 2x2-Block, einer Zeile/Spalte oder anderen Konfigurationen zusammenfassen lassen. Diese können dann zu einfacheren Termen vereinfacht werden, die die gleiche Wahrheitstabelle erzeugen.
Bei der Minimierung der KKNF mithilfe des KV-Diagramms suchen wir nach Möglichkeiten, die meisten 1en in Blöcken zu gruppieren, was zu einer vereinfachten Form führt. Allerdings ist es wichtig zu beachten, dass die Minimierung einer KKNF durch Gruppierung von Nullen eher untypisch ist, da das KV-Diagramm und dessen Minimierungsprinzipien hauptsächlich für KDNF entwickelt wurden. In der Praxis könnte das Umschreiben in eine KDNF und die Anwendung der bekannten Vereinfachungstechniken auf KV-Diagramm einen einfacheren Ansatz darstellen.
Zur Visualisierung und genauen Positionierung der Nullen (oder Einsen) sollte ein tatsächliches KV-Diagramm mit beschrifteten Achsen für \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\) und \(x_4\) erstellt werden. Während sich die spezifischen Vereinfachungsschritte nach der initialen Eintragung und Identifikation von Mustern richten, bleibt das allgemeine Ziel, die Ausdrücke durch das Ausnutzen gemeinsamer Terme innerhalb der markierten bzw. nicht markierten Bereiche zu vereinfachen.
