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a) Jede totale, konvergente Funktion \(f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}\) ist While-Berechenbar
Diese Aussage ist so allgemein formuliert nicht korrekt. Die Konvergenz einer Funktion im Kontext der Analysis bedeutet, dass sie einem bestimmten Wert zustrebt, wenn man gegen unendlich geht. Im Kontext der Berechenbarkeitstheorie bedeutet die "Totalität" einer Funktion, dass sie für alle Eingaben einen definierten Wert liefert. Die While-Berechenbarkeit bezieht sich auf die Möglichkeit, die Funktion durch ein Programm in der While-Programmiersprache oder ein äquivalentes Berechnungsmodell zu implementieren.
Es gibt jedoch totale, konvergente Funktionen, die nicht While-Berechenbar sind. Ein Beispiel wäre eine Funktion, die für Werte aus einer nicht berechenbaren Menge definiert ist und gegen einen bestimmten Wert konvergiert. Solange die Definition dieser Funktion sich auf eine nicht berechenbare Eigenschaft stützt, kann sie nicht mit einem endlichen While-Programm berechnet werden.
b) Jede totale Funktion \(f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}\) mit \(|im(f)| < \infty\) ist While Berechenbar
Diese Aussage ist korrekt. Eine totale Funktion \(f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}\), deren Bild (also der Wertebereich) endlich ist, kann durch ein endliches While-Programm repräsentiert werden. Das liegt daran, dass man für die endliche Anzahl von Bildwerten einfach ein entsprechendes Auswahlschema (if-else-Struktur) implementieren kann, um den richtigen Wert für jede Eingabe zuzuordnen. Das Programm könnte jeden Eingabewert überprüfen und den entsprechenden Ausgabewert aus einer vordefinierten Menge von Werten zurückgeben, was effektiv und endlich durchführbar ist.
c) Jede totale Funktion \(f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}\) mit \(|f(n) - f(n+1)| = 1\) ist While Berechenbar
Diese Aussage ist ebenfalls korrekt. Eine solche Funktion ist streng monoton (entweder zunehmend oder abnehmend) mit einer Schrittweite von genau 1. Funktionen dieser Art können relativ einfach mit einer While-Schleife in einem Programm realisiert werden, wobei die Schleife so lange inkrementiert oder dekrementiert wird, bis der gewünschte Wert erreicht wird.
d) Für alle \(f,g: \mathbb{N} \to \mathbb{N}\) gilt: Ist \(f\) While Berechenbar und \(h: \mathbb{N} \to \mathbb{Z}\) mit \(h(n) = f(n) - g(n)\) konvergent, dann ist auch \(g\) While Berechenbar
Diese Aussage kann nicht als allgemein gültig betrachtet werden. Die While-Berechenbarkeit von \(f\) und die Konvergenz von \(h(n) = f(n) - g(n)\) garantieren nicht die Berechenbarkeit von \(g\). Zum Beispiel, wenn \(g\) eine nicht berechenbare Funktion wäre (was bedeutet, es gibt keine Möglichkeit, sie durch ein endliches Verfahren zu berechnen), dann könnte trotzdem eine berechenbare Funktion \(f\) existieren, so dass \(f(n) - g(n)\) konvergiert (z.B. könnte \(f\) speziell konstruiert sein, um \(g\) zu "annullieren" und gegen einen festen Wert zu konvergieren). In diesem Fall wäre \(h\) zwar konvergent, aber \(g\) nicht While-berechenbar.
