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Satz von Myhill-Nerode
Der Satz von Myhill-Nerode gibt eine notwendige und hinreichende Bedingung für eine Sprache, regulär zu sein. Eine Sprache \(L\) ist genau dann regulär, wenn die Anzahl der Myhill-Nerode-Äquivalenzklassen endlich ist. Zwei Strings \(x\) und \(y\) sind Myhill-Nerode-äquivalent bezüglich \(L\), wenn für alle Strings \(z\) gilt, dass entweder beide \(xz\) und \(yz\) in \(L\) liegen oder beide nicht in \(L\) liegen.
Um zu zeigen, dass die Sprache \(L4 = \{0^m1^k \mid 0 \leq m < k, m, k \in \mathbb{N}\}\) nicht regulär ist, verwenden wir einen Widerspruchsbeweis und zeigen, dass es unendlich viele Myhill-Nerode-Äquivalenzklassen gibt.
Beweis
Betrachten wir Wörter der Form \(0^m\) für \(m \in \mathbb{N}\). Für jedes \(m\), wählen wir \(z = 1^{m+1}\). Dann liegt \(0^m1^{m+1} \in L4\), da \(0 \leq m < m+1\).
Nehmen wir nun an, es gibt ein \(n \neq m\), so dass \(0^m\) und \(0^n\) zur selben Äquivalenzklasse gehören. Das würde bedeuten, dass für jedes Wort \(z\), \(0^mz\) in \(L4\) genau dann ist, wenn \(0^nz\) in \(L4\). Aber wenn wir \(z = 1^{m+1}\) wählen, liegt \(0^m1^{m+1} \in L4\), während \(0^n1^{m+1}\) möglicherweise nicht in \(L4\) liegt, wenn \(n \geq m+1\).
Dieser Widerspruch zeigt, dass für jedes \(m\), \(0^m\) seine eigene Äquivalenzklasse hat, da die Auswahl von \(z\) abhängig von \(m\) ist und zeigt, dass \(0^m\) und \(0^n\) (für \(n \neq m\)) nicht äquivalent sind.
Da es unendlich viele solcher Wörter \(0^m\) gibt (für jedes \(m \in \mathbb{N}\)), gibt es unendlich viele Myhill-Nerode-Äquivalenzklassen für \(L4\).
Nach dem Satz von Myhill-Nerode bedeutet dies, dass \(L4\) nicht regulär ist.
Fazit
Basierend auf dem oben beschriebenen Argument, unter Verwendung des Satzes von Myhill-Nerode, haben wir gezeigt, dass die Sprache \(L4 = \{0^m1^k \mid 0 \leq m < k, m, k \in \mathbb{N}\}\) nicht regulär ist, da sie unendlich viele Äquivalenzklassen besitzt.
