Antwort mit KI erzeugt
Lösung:
Um eine kontextfreie Grammatik \( G \) zu definieren, die genau die durch die Funktion \( f \) beschriebene Sprache \( L_{\infty} \) generiert, müssen wir zunächst die Funktion \( f \) und ihre Anwendung auf die Sprache \( \mathcal{L} \) verstehen. Die gegebene Funktion definiert, dass eine Zeichenkette zur Sprache \( L \) gehört, wenn sie eine oder mehrere aufeinanderfolgende '0' oder '1' enthält, oder wenn sie durch Aneinanderreihung einer solchen Zeichenkette, gefolgt von einem ';' und einer weiteren Zeichenkette \( L \), gebildet wird.
Diese Definition lässt sich direkt in eine kontextfreie Grammatik umsetzen. Eine kontextfreie Grammatik besteht aus vier Komponenten \( G = (V, \Sigma, P, S) \), wobei:
- \( V \) die Menge der Variablen (Nichtterminale),
- \( \Sigma \) das Alphabet (Terminale),
- \( P \) die Produktionsregeln und
- \( S \) das Startsymbol ist.
Für die gegebene Funktion \( f \) definieren wir die Grammatik wie folgt:
Variablen (Nichtterminale):
- \( V = \{ S \} \)
Alphabet (Terminale):
- \( \Sigma = \{ 0, 1, ; \} \)
Startsymbol:
- \( S \)
Produktionsregeln (P):
1. \( S \rightarrow 0S \)
2. \( S \rightarrow 1S \)
3. \( S \rightarrow S;S \)
4. \( S \rightarrow 0 \)
5. \( S \rightarrow 1 \)
Diese Regeln erlauben es, Zeichenketten von '0' und '1' beliebiger Länge zu erzeugen, indem fortlaufend die Regeln 1 und 2 (zum Anhängen von '0' oder '1') angewandt werden. Weiterhin ermöglicht Regel 3 das Einfügen eines ';' zwischen zwei Zeichenketten. Die Regeln 4 und 5 stellen sicher, dass auch einzelne '0' oder '1' erzeugt werden können, was dem Teil der Funktion \( f \) entspricht, der besagt, dass \( \{0,1\}^{+} \) ein Teil der Sprache ist.
Damit repräsentiert diese kontextfreie Grammatik \( G \) die unendliche Sprache \( L_{\infty} \), die durch die rekursive Anwendung der Funktion \( f \) auf die leere Zeichenkette entsteht.
