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Anzahl der formalen Sprachen über \( \Sigma \) mit Wörtern der Länge \( \leq n \)
Zuerst korrigieren wir den Ansatz zur Berechnung der Anzahl aller Wörter der maximalen Länge \( n \) über dem Alphabet \( \Sigma=\{0,1\} \). Die Anzahl der Wörter der Länge \( k \) über \( \Sigma \) ist \( 2^k \), da es für jede Position in einem Wort der Länge \( k \) genau zwei mögliche Zeichen gibt. Die korrekte Summe, die alle Wörter von der Länge 0 bis \( n \) inkludiert, ist daher:
\(
\sum \limits_{k=0}^{n} 2^{k}
\)
Diese Summe kann man als geometrische Reihe auffassen, deren Summe durch die Formel:
\(
S = \frac{a(1-r^{n+1})}{1-r}
\)
gegeben ist, wobei \( a=1 \) der erste Term der Reihe ist (wie \( 2^0 = 1 \)) und \( r=2 \) der Quotient zwischen den Terms. Setzen wir diese Werte ein, um die gesamte Anzahl von Wörtern zu bekommen:
\(
S = \frac{1(1-2^{n+1})}{1-2} = 2^{n+1} - 1
\)
Die Anzahl der verschiedenen Sprachen, die aus allen Wörtern der Länge \( \leq n \) gebildet werden können, entspricht der Potenzmenge dieser Wörtermenge, da jede Sprache eine beliebige Kombination dieser Wörter sein kann. Demnach ist die Anzahl der möglichen Sprachen:
\(
l_{n} = 2^{2^{n+1} - 1}
\)
Anzahl der DFAs mit einer \( k \)-elementigen Zustandsmenge
Die Berechnung der Anzahl \( m_{k} \) der DFAs über \( \Sigma \) mit einer \( k \)-elementigen Zustandsmenge erfordert dagegen eine differenziertere Betrachtung. Für jede Kombination aus Eingabezeichen und aktuellem Zustand muss ein Übergang zu einem Zustand definiert werden. Bei einem Alphabet der Größe 2 und \( k \) Zuständen gibt es pro Zustand \( 2k \) solcher Übergänge (2 Eingabezeichen und \( k \) mögliche Zielzustände für jeden).
Darüber hinaus muss einer der \( k \) Zustände als Startzustand festgelegt werden und jede der \( k \) Zustände kann entweder akzeptierend oder nicht akzeptierend sein, was \( 2^k \) Möglichkeiten für die Kombination der Endzustände ergibt.
Damit ergibt sich die Formel für die Anzahl der möglichen DFAs wie folgt:
\(
m_{k} = k \cdot (2k)^{k} \cdot 2^{k}
\)
In dieser Formel steht \( k \) für die Auswahl des Startzustandes aus \( k \) Zuständen, \( (2k)^{k} \) für die Auswahl der Zustandsübergänge für jedes Eingabezeichen aus \( \Sigma \) und in jedem der \( k \) Zustände, und \( 2^{k} \) für die Auswahl der akzeptierenden Zustände.
Diese Berechnungen geben einen Überblick über die theoretische Anzahl von Sprachen und DFAs für gegebene Bedingungen, jedoch ist zu beachten, dass in der Praxis viele dieser theoretisch möglichen DFAs äquivalent im Sinne der von ihnen erkannten Sprachen sein können.
