Antwort mit KI erzeugt
a) Zeigen Sie \( L=K \).
Um zu zeigen, dass \( L=K \), müssen wir beweisen, dass alle Wörter in \( L \) auch in \( K \) sind und umgekehrt, dass alle Wörter in \( K \) auch in \( L \) sind.
Beweis \( L \subseteq K \):
1.
Basis der Induktion (Induktionsanfang): Das leere Wort \( \varepsilon \) ist in \( L \) und erfüllt auch die Bedingungen von \( K \), da \( |\varepsilon|_{(}=0=|\varepsilon|_{)} \) und für alle Zerlegungen \( u, v \), mit \( u v = \varepsilon \), gilt trivial, dass \( |u|_{(} \geq |u|_{)} \) (da sowohl \( u \) als auch \( v \) auch das leere Wort sein müssen).
2.
Induktionsschritt:
-
Regel 2 (Konkatenation): Angenommen, \( u, v \in L \). Nach Induktionsannahme gehören \( u, v \) auch zu \( K \), was bedeutet, dass für alle Zerlegungen von \( u \) und \( v \) die Zahl der öffnenden Klammern größer oder gleich der schließenden Klammern ist und insgesamt die Anzahl der öffnenden und schließenden Klammern jeweils gleich ist. Die Konkatenation \( uv \) erhält diese Eigenschaft, da die Reihenfolge und die Anzahl der Klammern beibehalten werden. Also ist \( uv \in K \).
-
Regel 3 (Hinzufügen von Klammern): Für ein Wort \( u \in L \) (und nach Annahme in \( K \)), erzeugt das Hinzufügen von Klammern um \( u \) ein Wort \( (u) \), welches die Anzahl der öffnenden und schließenden Klammern erhält und sicherstellt, dass jede Zerlegung \( u' \) von \( (u) \), die vom Anfang bis zu einem beliebigen Punkt im Wort reicht, mehr oder gleich viele öffnende Klammern als schließende Klammern hat. Dies entspricht direkt der Definition von \( K \), so dass \( (u) \in K \).
Damit haben wir gezeigt, dass wenn ein Wort in \( L \) ist, es auch die Bedingungen von \( K \) erfüllt, was \( L \subseteq K \) beweist.
Beweis \( K \subseteq L \):
Um \( K \subseteq L \) zu zeigen, berücksichtigen wir, dass jedes Wort \( w \in K \) nach Definition eine gleiche Anzahl von öffnenden und schließenden Klammern hat und für alle Zerlegungen \( u, v \) mit \( u v = w \) gilt, dass \( |u|_{(} \geq |u|_{)} \). Diese zwei Bedingungen garantieren, dass das Wort \( w \) korrekt geklammert ist, da von Anfang an bei jeder Teilzeichenkette die Anzahl der öffnenden Klammern immer größer oder gleich der Anzahl der schließenden Klammern ist und insgesamt gleich ist.
1. Das leere Wort \( \varepsilon \) ist trivialerweise in \( L \).
2. Für jedes nicht-leere Wort in \( K \) können wir durch Induktion ausgehend von einfacheren, kürzeren Wörtern, die bereits nach den Regeln von \( L \) gebildet wurden, zeigen, dass wir dieses durch Anwenden der Regeln 2 und 3 erhalten können. Da jedes Wort \( w \in K \) durch ein Set von Regeln konstruiert werden kann, das sicherstellt, dass es korrekt geklammert ist, und \( L \) genau solche Wörter umfasst, folgt, dass jedes Wort in \( K \) auch durch die Regeln von \( L \) konstruiert werden kann.
Somit haben wir gezeigt, dass ein Wort, wenn es in \( K \) ist, auch in \( L \) ist, was \( K \subseteq L \) beweist.
Da wir sowohl \( L \subseteq K \) als auch \( K \subseteq L \) bewiesen haben, folgt \( L = K \).
b) Finden Sie eine Typ-2 Grammatik für \( L \) bzw. \( K \).
Da \( L = K \), genügt es, eine Typ-2-Grammatik (kontextfreie Grammatik) für \( L \) zu finden, und diese wird auch für \( K \) gelten.
Grammatik G für \( L \):
- \( G = (V, \Sigma, R, S) \)
- Nicht-terminale Symbole: \( V = \{S\} \)
- Terminale Symbole: \( \Sigma = \{'(', ')'\} \)
- Startsymbol: \( S \)
- Regeln \( R \):
1. \( S \rightarrow SS \) (Konkatenation zweier Wörter in \( L \))
2. \( S \rightarrow (S) \) (Hinzufügen von Klammern um ein Wort in \( L \))
3. \( S \rightarrow \varepsilon \) (Das leere Wort ist in \( L \))
Diese Grammatik erzeugt alle korrekt geklammerten Ausdrücke, die möglich sind, indem sie die Basisregeln für \( L \) (und somit \( K \)) nachahmt: Das leere Wort ist enthalten, beliebige Konkatenationen korrekt geklammerter Wörter sind möglich, und das Umklammern eines solchen Wortes ist ebenfalls möglich.
