Wie kommt es zur Rechnung? Reelle Zahlen. Binäre Quadratwurzel aus 2 berechnen.

Question

Die Aufgabe heißt die ersten vier binären Stellen von Wurzel 2,3,5,7 auszurechnen aber ich habe leider keine Ahnung wie ich da vorgehen müsste. Könnte jemand mir diese Rechnung erklären?

Aufgabe 1.13 \( \sqrt{2} \):

\( \begin{array}{l} 1^{2}<2<2^{2}=(10)^{2} \\ 2<(1,1)^{2}=\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4} \\ \frac{25}{16}=\left(\frac{5}{4}\right)^{2}=(1,01)^{2}<2 \\ \frac{121}{64}=\left(\frac{11}{8}\right)^{2}=(1,011)^{2}<2 \\ 2<\left(\frac{23}{16}\right)^{2}=\frac{529}{256}=(1,0111)^{2} \\ \end{array} \)
Also \( \sqrt{2}=1,0110 \cdots \).

Answer 1

Du weisst, was binäre Zahlen sind?

Das sind Zahlen, die nur mit 1 und 0 geschrieben werden.

Dabei gilt zum Beispiel:

Zehnersystem	Binärsystem
0	0
1	1
2	10
3	10+1 = 11
4	100
1/2	0.1
1/2 + 1	0.1 + 1 = 1.1

Nun wird oben jeweils geschaut,  zwischen welchen beiden "Binärzahlen im Quadrat" die Dezimalzahl 2 liegt.

Die Schritte im Einzelnen:

Die erste Ungleichungskette zeigt dir, dass √2  im Binärsystem zwischen binär 1 und 10 liegt.

D.h. die gesuchte Zahl ist 1.?????????

An der ersten Stelle nach dem Komma kommt 1 oder 0 in Frage. (1.0)^2 ist immer noch kleiner als 2

Da binär 1.1 = dezimal 1.5, schaut man 1.5^2 an. Da 1.5^2 = (3/2)^2 = 9/4 = 2.25 grösser ist als 2, ist binär 1.1 schon zu viel.

Die ersten beiden Stellen der gesuchten Wurzel müssen also binär 1.0 heissen.

Nun 1.00 und 1.01 testen.

Da binär (1.01)^2 < 2 ==> Die ersten 3 Stellen sind binär 1.01 und man muss nun binär

1.010 und 1.011 quadrieren um festzustellen, was die nächste Stelle sein muss.

Wenn du die obige Rechnung rekapitulierst, markiere mit Farben, welche Zahlen binär und welche dezimal gemeint sind. Das ist leider bisher nicht so klar feststellbar. Dann erkennst du bestimmt, was die dort tun.

Binärzahlen werden hier eingeführt: https://www.matheretter.de/wiki/binarzahlen

Answer 2

Hi, das angewendete Verfahren heißt auch Heron-Verfahren. Es liefert eine recht schnell konvergierende, abbrechend rationale Näherung irrationaler Wurzeln. Es beginnt mit zwei Startwerten als unterer und oberer Schranke, im Beispiel mit den natürlichen Zahlen 1 und 2. Aus den jeweils letzten Schranken wird durch Mittelwertbildung eine der beiden Schranken ersetzt. Welche das sein muss, ist nach Quadrieren der neuen Schranke leicht festzustellen. Diese Schritte werden wiederholt, bis die vorgegebene Genauigkeit erreicht ist.

Durch das wiederholte Halbieren bei der Mittelwertbildung zur Berechnung neuer Schranken stehen lauter 2er Potenzen in den Nennern der Schranken. Am Ende des Beispiels etwa 16 = 2^4. Die gewünschte Genauigkeit von 4 Stellen ist erreicht.

Da die drei hierbei benutzten Rechenoperationen Addieren, Halbieren und Quadrieren auch sehr gut im Binärsytem durchgeführt werden können, könnte die ganze Rechnung auch ohne die Zuhilfenahme des 10er Systems unmittelbar im Binärsystem durchgeführt werden.

Hier die Schachtelung im Binärsystem, gerechnet ebenfalls im Binärsystem nur mit Papier und Bleistift:
$$ \begin{aligned} 1^2 &< 10 < 10^2 \\ 1^2 &< 10 < 1.1^2 \\ 1.01^2 &< 10 < 1.1^2 \\ 1.011^2 &< 10 < 1.1^2 \\ 1.011^2 &< 10 < 1.0111^2 \\\\ \sqrt{10} &= 1.0110\dots \end{aligned} $$Es ist eine gute Übung, mal ein paar Schritte nach zurechnen.