Don’t Panic, eine java Aufgabe

Question

Aufgabe:

Gegeben sei folgende rekursive Funktion auf den natürlichen Zahlen: f(n) = n − 9 für n > 50, f(n) = f (f(n + 10)) für n <= 50 Berechnen Sie f(n) für n = 1, . . . , 100 und geben Sie diese Werte auf der Konsole aus.

Geben Sie eine explizite Formel für f(n) an und begründen Sie deren Korrektheit. Wie groß ist die Rekursionstiefe bei der Berechnung von f(1)?

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Aufgabe: Rekursive Funktion

Für diese Aufgabe müssen wir zuerst die rekursive Funktion f(n) in Java implementieren, die Werte von n zwischen 1 und 100 berechnen und ausgeben. Anschließend formulieren wir eine explizite Formel für f(n) und diskutieren deren Korrektheit sowie die Rekursionstiefe bei der Berechnung von f(1).

Java-Implementierung

Zuerst implementieren wir die gegebene rekursive Funktion in Java:

java
public class RecursiveFunction {
    public static void main(String[] args) {
        // Berechnen und Ausgeben der Werte f(n) für n = 1, ..., 100
        for (int n = 1; n <= 100; n++) {
            System.out.println("f(" + n + ") = " + f(n));
        }
    }
    
    // Implementierung der gegebenen rekursiven Funktion
    public static int f(int n) {
        if (n > 50) {
            return n - 9;
        } else {
            return f(f(n + 10));
        }
    }
}

Dieser Code berechnet und gibt die Werte der Funktion f(n) für n = 1, ..., 100 aus.

Explizite Formel für f(n)

Bei genauer Betrachtung der Funktion und der Ausführung für verschiedene Werte von n stellt man fest, dass f(n) immer zu einem Wert in einer bestimmten Sequenz konvergiert, die kleiner oder gleich 50 ist, und dann auf einen Wert größer als 50 führt. Nachdem der rekursive Aufruf n > 50 erreicht, tritt der Basisfall ein, der n - 9 zurückgibt. Für jegliches n <= 50, wiederholt sich der Prozess in einer Weise, dass es schließlich zu f(n) = 42 führt.

Die explizite Formel für f(n) ist daher:

- Wenn \(n > 50\), dann ist \(f(n) = n - 9\).
- Ansonsten, wenn \(n \leq 50\), konvergiert die Funktion immer zu \(f(n) = 42\).

Korrektheit der expliziten Formel

Die Formel ist korrekt basierend auf der Beobachtung der Rekursionsmuster. Für jegliches \(n > 50\), reduziert die Funktion einfach den Wert um 9. Für Werte von \(n \leq 50\), führt die rekursive Struktur der Funktion dazu, dass nach einer Reihe von rekursiven Aufrufen, unabhängig vom Startwert, der Prozess zu einem Punkt kommt, wo der Eingabewert gleich 51 oder ein wenig darüber ist (aufgrund der Addition von 10 in jedem rekursiven Aufruf), resultierend in einem finalen Wert von 42.

Rekursionstiefe bei der Berechnung von f(1)

Die Rekursionstiefe für die Berechnung von f(1) bezieht sich auf die Anzahl der Aufrufe, die generiert werden, bis die Funktion zu ihrem endgültigen Wert konvergiert. Beim Start mit n = 1 wird die Funktion f rekursiv auf allen Ebenen aufgerufen, bis n > 50 erreicht ist. Die Rekursionstiefe kann durch Analyse der Funktion bestimmt werden. Da die Funktion bei n = 1 beginnt und in jedem rekursiven Schritt 10 zum Wert hinzufügt, bevor sie zweimal rekursiv auf sich selbst anwendet wird, können wir folgern, dass der Prozess mehrere Schichten durchläuft, bis 51 erreicht wird, woraufhin n - 9 ausgeführt wird. Die genaue Tiefe hängt davon ab, wie die Rekursionen verkettet sind, aber es ist klar, dass mehrere Ebenen tief gegangen werden müssen, um das Endergebnis von f(1) = 42 zu erzielen.