Landau-Symbole, Polynom vom Grad n ∈ \( \mathcal{O}(l^n) \)

Question

Ich habe folgenden Beweis zur Behauptung gemacht und wollte wissen, ob er passt. Ich habe keine Idee gehabt, wie ich das direkt beweisen könnte. Zunächst habe ich an Induktion gedacht, indem ich es für alle Grade n zeige. Aber wenn ich nun diese Aussage für ein beliebiges, aber festes n voraussetzen würde und dann auf n+1 schließe, muss ja nichtmehr zwangläufig meine Konstante α>0 aus der Induktionsvoraussetzung aussreichend sein, sowie, dass mein l_0 auch nicht mehr gültig sein muss für Grad n+1. Deshalb dachte ich an einen Widerspruchsbeweis.

$$ \text{Es sei }P(l)=\sum_{k=0}^n a_k\cdot l^k \text{ ein Polynom vom Grad n in der Variablen }l\\\text{mit reellen Koeffizienten }a_k\text{ und } a_n>0. \text{ Dann gilt }(l\mapsto P(l))\in \mathcal{O}(l^n).$$

Beweis (durch Widerspruch.)

$$ \text{Es sei }P(l)=\sum_{k=0}^n a_k\cdot l^k \text{ein Polynom vom Grad n in der Variablen }l\\\text{mit reellen Koeffizienten }a_k\text{ und } a_n>0. \text{ Angenommen es gelte } (l\mapsto P(l))\notin \mathcal{O}(l^n).\\\text{Dann gilt für alle }\alpha >0 \text{ und für alle } l_0\in \mathbb{N},\text{ dass es ein }l\in \mathbb{N} \text{ mit }l\geq l_0 \\\text{gibt, sodass die Abschätzung }0>P(l)>\alpha\cdot l^n\text{ erfüllt ist.}\\\text{Für }l=l_0=0 \text{ ist }0>P(0)=a_0>\alpha\cdot 0^n=0 \text{ bereits ein Widerspruch.}\\\text{Betrachte nun }l\geq l_0>0 \text{ beliebig groß. Dann gilt auch }0>\frac{P(l)}{l^n}>\alpha\text{ bzw.,}\\0>\underbrace{a_0\cdot \frac{l^0}{l^n}+a_1\cdot \frac{l^1}{l^n}+...+a_{n-1}\cdot \frac{l^{n-1}}{l^n}}_{\substack{l \rightarrow \infty \\\longrightarrow 0}}+a_n>\alpha.\\\text{Daraus folgt }0>a_n>\alpha.\text{ Es ist aber }a_n>0\text{ und }\alpha>0,\\\text{was demnach ein Widerspruch zur Voraussetzung ist.}\\\text{Damit folgt die Behauptung.}$$

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Bewertung des vorgelegten Beweises

Dein Ansatz, einen Widerspruchsbeweis zu verwenden, um zu zeigen, dass ein gegebenes Polynom \(P(l)\) vom Grad \(n\) bzgl. der Variablen \(l\) mit reellen Koeffizienten in der Menge \( \mathcal{O}(l^n)\) liegt, ist prinzipiell richtig. Die Überlegung, dass eine direkte Anwendung der Induktion möglicherweise nicht zielführend ist, da sich die Konstanten und die Bedingungen ändern könnten, ist ebenfalls nachvollziehbar. Allerdings gibt es einige Punkte, die es zu klären gilt, sowie Vorschläge zur Präzisierung deiner Argumentation.

Analyse des Beweises

Im Großteil deines Beweises gehst du korrekt vor, indem du annimmst, dass die Behauptung falsch sei, d.h., dass \(P(l)\) nicht in \( \mathcal{O}(l^n)\) liegt. Das bedeutet, es müsste für alle \(\alpha > 0\) und alle \(l_0 \in \mathbb{N}\) ein \(l \geq l_0\) geben, so dass \(0 > P(l) > \alpha \cdot l^n\), was offensichtlich inkonsistent zur Definition der Groß-O-Notation ist. Allerdings ist die Formulierung der Ungleichung \(0 > P(l) > \alpha \cdot l^n\) nicht korrekt hinsichtlich der Bedeutung der Landau-Symbole.

Der springende Punkt ist, dass \(P(l)\) nicht zwingend negativ sein muss (wie es die Schreibweise \(0 > P(l) > \alpha \cdot l^n\) implizieren würde), sondern einfach, dass \(P(l)\) schneller wächst als \(\alpha \cdot l^n\) besagt, dass für große \(l\) die Funktion \(P(l)\) im Vergleich zu \(\alpha \cdot l^n\) nicht vernachlässigbar ist.

Anpassung der Argumentation

Es sollte stattdessen argumentiert werden, dass unter der Annahme, \(P(l) \notin \mathcal{O}(l^n)\), für jedes \(\alpha > 0\) und jedes \(l_0 \in \mathbb{N}\) ein \(l \geq l_0\) existiert, sodass \(P(l) > \alpha \cdot l^n\). Der Beweis, dass dies für \(l_0 = 0\) zu einem Widerspruch führt, ist nicht ganz korrekt, denn \(l_0 = 0\) ist nicht der Kern des Beweises und eher irreführend.

Der relevante Teil ist die Betrachtung von \(\frac{P(l)}{l^n}\) und die Feststellung, dass im Limes \(l \to \infty\), die Terme der Form \(\frac{l^k}{l^n}\) mit \(k < n\) gegen 0 konvergieren, was korrekt ist. Da aber \(a_n > 0\) und \(\alpha > 0\), folgt daraus tatsächlich ein Widerspruch zur Annahme, dass \(P(l)\) nicht durch ein Polynom in \( \mathcal{O}(l^n)\) begrenzt werden kann. D.h. die Überlegung, dass der Beitrag der Terme \(a_0\), ..., \(a_{n-1}\) verschwindet und somit die Abschätzung nur von \(a_n \cdot l^n\) dominiert wird, was offensichtlich in \( \mathcal{O}(l^n)\) liegt, ist korrekt.

Fazit

Dein Beweisansatz ist im Kern korrekt, bedarf jedoch einer Präzisierung in der Formulierung, insbesondere hinsichtlich der Nutzung der Ungleichungen und der richtigen Argumentation bezüglich des Grenzverhaltens von \(\frac{P(l)}{l^n}\). Eine klarere Darstellung ohne die irrtümliche Annahme am Anfang würde den Beweis stärken.