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Schleifeninvariante beweisen (Python)
Um zu überprüfen, wo der Fehler liegt, betrachten wir den gegebenen Python-Algorithmus und die vorgelegte Schleifeninvariante Schritt für Schritt. Der Algorithmus lautet:
python
def f(n):
w = 0 # Anfangswert
for i in range(n+1): # i=0,...,n
w = w + i # w um i erhöhen
return w # Nach Beendigung der for-Schleife w zurückgeben.
Dieser Algorithmus berechnet die Summe aller ganzen Zahlen von 0 bis \(n\).
Die vorgeschlagene Schleifeninvariante ist:
\(
w' = \sum_{i=0}^n i - \sum_{k=i+1}^n k = \frac{n \cdot (n+1) + (i-n) \cdot (n+i+1)}{2}
\)
Analyse der Schleifeninvariante:
Zuerst ist es wichtig zu bemerken, dass die aufgestellte Schleifeninvariante nicht korrekt formuliert wurde, um die beobachtete Eigenschaft des Codes hinsichtlich des Akkumulators \(w\) direkt nach jedem Schleifendurchlauf zu beschreiben.
Für den Algorithmus wäre eine korrekte Schleifeninvariante zu formulieren als die Summe der Zahlen von 0 bis \(i\), wobei \(i\) den aktuellen Stand im Laufe der Iterationen der Schleife repräsentiert. Also:
\(
w = \sum_{k=0}^i k
\)
und zu zeigen wäre, dass nach jedem Durchlauf \(i\), dies gleich bleibt, bis \(i=n\).
Induktionsanfang:
Vor dem Beginn der Schleife, wenn \(i=0\), ist \(w=0\) offensichtlich wahr, da:
\(
w = \sum_{k=0}^0 k = 0
\)
Induktionsvoraussetzung:
Wir nehmen an, dass nach \(i\) Durchläufen der Schleife die Invariante wahr ist, d.h. \(w = \sum_{k=0}^i k\).
Induktionsschritt:
Wir müssen nun zeigen, dass wenn die Invariante nach \(i\) Durchläufen wahr ist, sie auch nach \(i+1\) Durchläufen wahr bleibt.
\(
w' = w + i+1 = \sum_{k=0}^i k + (i + 1) = \sum_{k=0}^{i+1} k
\)
Daher bestätigt dies die Gültigkeit der Schleifeninvariante.
Korrektur der ursprünglichen Invariante:
Der Ausdruck, der ursprünglich als Invariante vorgeschlagen wurde, scheint Konfusion hinsichtlich des Zwecks der Invariante und der tatsächlichen Berechnung innerhalb des Algorithmus zu schaffen. Die ursprünglich vorgeschlagene Formel erscheint unnötig komplex in Bezug auf die direkte Berechnung, die im Algorithmus stattfindet. Eine Schleifeninvariante sollte ein einfacher Ausdruck sein, der die Eigenschaften der Variablen in jedem Schritt der Schleife beschreibt.
Fazit:
Für korrektes Beweisen von Schleifeninvarianten ist es wesentlich, eine direkte Verbindung zwischen der Logik des Algorithmus und der Formulierung der Invarianten herzustellen. Im gegebenen Beispiel war die korrekte Invariante einfacher und direkter im Zusammenhang mit der Summenformel, die der Schleifenstruktur des Algorithmus entspricht.
