Rundung bei Maschinenzahlen

Question

Ich verstehe in der folgenden Aussage nicht, wie dort die Rundungen zustande kommen.

Definition. Sei F=F(b,m,E_min,E_max) ein Maschinenzahlbereich. Eine Abbildung rd: ℝ -> F heißt Rundung zu F, wenn für alle x∈ℝ gilt : $$ |x-rd(x)|=\min_{a\in F}(|x-a|). $$

Dann wird gesagt, dass das Minimum nicht eindeutig sein kann. Als Beispiel wird F(10,2,0,2) aufgeführt und dass die Zahl 12,5 auf 12 oder 13 gerundet werden könne. Warum???

Wenn ich die Rundung vornehme, komme ich auf folgendes Ergebnis:

$$ z=(12,5)_{10}\\rd(z)=+(1,2)_{10}\cdot 10^1:=z' $$

Und wenn ich z' ausrechne komme ich auf $$ z'=(1+\frac{2}{10})\cdot 10^1=12. $$

Woher, bzw. wie kommt man dann auch auf die 13?

Answer 1

nach dieser Definition$$|x-\text{rd}(x)|=\min_{a\in F}(|x-a|)$$ und einem Wert von \(x=(12,5)_{10}\) kann \(\text{rd}(12,5)\) sowohl den Wert 12, als auch dem Wert 13 annehmen. In beiden Fällen wäre die Abweichung zum nächsten Element \(a\) mit \(a \in \mathbb{F}(10,2,0,2)\) genau \(0,5\). Und näher geht nicht.

Die 12 wäre in diesem Fall nach dem 'mathematische Runden' entstanden und die 13 aus dem 'kaufmännische Runden' (siehe Rundung).