Aufgaben:
1. Berechnen der Kondition k
\( \frac{1-\cos (x)}{x^{2}} \)
für x an der Stelle 0. Hinweis: Formen Sie erst um und nutzen Sie dann die Taylorapproximationen \( \cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2} + o(x^3) \) und \( \sin(x) = x + o(x^2) \) bevor Sie den Grenzwert ermitteln.
2. Implementiert man die Formel, zeigt sich das Problam für x nahe 0 trotzdem fehleranfällig. Woran liegt das?
3. Wie könnte man das Problem verhindern? Hinweis: Überlegen Sie sich, welchen Term man äquivalent ersetzen könnte.
Ansatz:
f(x)=(1-cos(x))/x2
f'(x)=(sin(x)*x-2+2cos(x))/x3 (ergibt sich aus Quotientenregel )
k=f'/f *x
=(sin(x)*x-2+2cos(x))/(1-cos(x))
Taylor einsetzen:
≈(x2-2+2 -x2)/(x2/2)
=0
k(0)=0
Das war die Rechnung.
Fragen 2 und 3 sind noch offen.
