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Chromatische Zahl und Blöcke
Zum Verständnis der Aufgabenstellung müssen wir einige Begriffe klären. Die
chromatische Zahl \(\chi(G)\) eines Graphen \(G\) ist die kleinste Anzahl von Farben, die benötigt wird, um die Knoten des Graphen so zu färben, dass keine zwei adjazenten (durch eine Kante verbundenen) Knoten die gleiche Farbe haben. Ein
Block in einem Graphen ist ein maximaler zusammenhängender Teilgraph, der keine Trennverbindung (engl. *cut-vertex*) enthält, d.h., das Entfernen eines beliebigen Knotens aus dem Block lässt ihn immer noch zusammenhängend.
Um die Gleichung zu beweisen, möchten wir zeigen, dass für einen gegebenen Graphen \(G\), seine chromatische Zahl \(\chi(G)\) gleich dem Maximum der chromatischen Zahlen seiner Blöcke ist, formalisiert als:
\(
\chi(G)=\max _{\substack{B \subseteq G \\ B \text { Block von } G}} \chi(B)
\)
Beweis:
Zunächst zeigen wir, dass \(\chi(G) \geq \max_{B \subseteq G, B \text{ Block}} \chi(B)\).
- Da jeder Block \(B\) von \(G\) ein Untergraph von \(G\) ist, kann jede gültige Knotenfärbung von \(G\) auf \(B\) beschränkt werden, was zeigt, dass mindestens \(\chi(B)\) Farben benötigt werden, um \(B\) zu färben. Da dies für alle Blöcke von \(G\) gilt, benötigt \(G\) mindestens so viele Farben wie der Block von \(G\) mit der höchsten chromatischen Zahl. Dies zeigt \(\chi(G) \geq \max_{B \subseteq G, B \text{ Block}} \chi(B)\).
Als nächstes beweisen wir, dass \(\chi(G) \leq \max_{B \subseteq G, B \text{ Block}} \chi(B)\).
- Um die Knoten von \(G\) zu färben, können wir beginnen, indem wir jeden Block von \(G\) unabhängig färben. Da ein Block \(B\) in \(G\) keine Trennverbindungen hat, können wir für jeden Block eine optimale Färbung mit \(\chi(B)\) Farben finden. Selbst wenn zwei Blöcke einen Knoten teilen (was möglich ist, weil ein Knoten eine Trennverbindung zwischen zwei Blöcken sein kann), können wir die Farbzuteilung so anpassen, dass der gemeinsame Knoten in beiden Blöcken die gleiche Farbe hat, ohne dass wir mehr als \(\max_{B \subseteq G, B \text{ Block}} \chi(B)\) Farben benötigen. Da dies für alle Blöcke gleichermaßen gilt, ist es möglich, \(G\) mit nicht mehr Farben zu färben, als der Block mit der maximalen chromatischen Zahl benötigt.
Durch Kombination beider Teile erhalten wir \(\chi(G) = \max_{B \subseteq G, B \text{ Block}} \chi(B)\), was die angegebene Gleichung beweist.
