Maschinenzahlen Bias-Schreibweise

Question

Maschinenzahlen Bias-Schreibweise

Ein anderes Problem?

Tschakabumba · Answer 1 · 2019-10-07T13:18:21+0000

Aloha :)

Als Speicher noch knapp war und CPUs keine eigenen Fließkomma-Berechnungen durchführen konnten, hat man 32-Bits für die Darstellung von Fließkommazahlen verwendet. Dabei gab es 23 Bits für die Mantisse, 8 Bits für den Exponenten und 1 Bit für das Vorzeichen der Mantisse. Damit kam man auf eine Genauigkeit von etwa 6 gültigen Stellen und auf eine 10er-Potenz von $10^{-38}$ bis $10^{38}$. Der entsprechende Datentyp wurde übleicherweise float genannt.

Später hat man dann 64 Bits für die Darstellung von Fließkommazahlen verwendet, also doppelt so viele Bits. Die Anzahl der Mantissen-Bits wurde dann mit 52 so gewählt, dass bei Berechnungen 12 gültige Stellen gewährleistet werden konnten, also doppelt so viele wie bei float. Daher haben die 64-Bit-Fließkommatypen ihren Namen double. Der Für den Exponent bleiben dann 11 Bits übrig und für das Vorzeichen der Mantisse wird noch 1 Bit verwendet. Die 10er-Exponenten bei double liegen im Bereich von $10^{-308}$ bis $10^{308}$.

Die Aufteilung der Bit-Anzahl in Mantisse und Exponent bei double hat also historische Gründe. Das double ist im Sinne von "doppelter Genauigkeit" zu verstehen und nicht im Sinne von doppelter Bitanzahl.

Beantwortet 7 Okt 2019 von Tschakabumba

Einverstanden. Aber warum hat man bei 32 bits den Exponenten auf den Bereich [-126, +127] festgelegt? Wenn ich nun selber anfange mit den vorgelegten Einteilungen der Bits zu arbeiten, dann komme ich auf folgendes:

8 bits für den Exponenten ergibt diese größte Zahl : $$(11111111)_2=255_{10}=2^8-1$$

Nun rechnet man aber auch mit Zahlen < 1, sodass der Exponent negativ wird. Damit komme ich folgenden Bereich für die Exponenten: $$ \Big\{-\left \lfloor{\frac{2^8}{2}}\right \rfloor,...,\left \lceil{\frac{2^8}{2}}\right \rceil -1 \Big\}=\{-128,...,127\} $$

Also habe ich diesen Maschinenzahlbereich: F=F(2,23,-128,127)

Damit bekomme ich diesen größte positive Zahl: $$ \max(F)=\Big(1- \Big(\frac{1}{2} \Big)^{23}\Big)\cdot 2^{127+1}\approx 3,40\cdot 10^{38}\\\min(F)=2^{-127}\approx 2,94\cdot 10^{-39}. $$

Genauso frage ich mich, warum bei 64 bits ein Exponetenbereich von [-1022, 1023] vorliegt, statt [-1024, 1023].

Kommentiert 7 Okt 2019 von hallo97

mathe53 · Answer 2 · 2019-10-07T05:31:07+0000

Aktuell verwendet man double-Typen mit unterschiedlich vielen Bits für den Exponenten bzw. die Mantisse, die insgesamt 32/64/128 Bit benötigen.

Ein Optimum zwischen der maximalen Grösse des Exponenten und der Mantisse gibt es nicht. Ein Optimum könnte man nur dann entwickeln, wenn man die Menge der darzustellenden Zahlen einschränkt. Diese Einschränkung bezieht sich nicht auf ein reelles Minimum und Maximum, sondern auf die Auswahl der Zahlen in einem vorgegebenen Interval.

Eine solche Einschränkung ist aber in Anbetracht der Anwendungsfülle unmöglich.

Ausserdem lassen sich mit dem double-Format keine reelle Zahlen darstellen, deren Dezimalanteil mit den Ziffern 1,2,3,4,6,7,8,9 endet, anders gesagt nicht mit der Ziffer 5. So ist z.B. die Zahl 0.1 nicht exakt darstellbar, ebensowenig 0.2 oder 0.574 usw.

Ebenso können mit dem double-Format keine reellen Zahlen mit Periode dargestellt werden, weil die Mantisse in allen Fällen endlich ist. Als Beispiel ist also weder die Zahl 0.3 (siehe oben) noch die Zahl 1/3 exakt darstellbar.

Mit einer grössere Mantisse kann man lediglich den entstehenden Rechenfehler verkleinern.

P.S Und mit diesen Fehlern rechnet man Klimamodelle ...

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