Welche Aussagen treffen für beliebige Grammatiken zu? (Kontextfreie, Chomsky-Normalform, Sprachen)

Question

Multipli Choice Aufgabe:

Definitionen Sei ( G=(V, \Sigma, P, S) \) eine \( b \) eine beliebige Grammatik. Welche der folgenden Aussagen sind korrekt?

Wählen Sie eine oder mehrere Antworten:

a. Auf der linken Seite einer Regel muss mindestens eine Variable stehen.

b. Die von G erzeugte Sprache ist \( L(G)=\left\{x \in \Sigma^{*} | S \Rightarrow a x\right\} \)

c. Falls G eine reguläre Grammatik ist, dann gibt es eine zu \( G \) äquivalente reguläre Grammatik G' die keine Regeln der Form \( A \rightarrow a, a \neq \varepsilon, \) enthält.

d. Jede reguläre Sprache wird von einer kontextfreien Grammatik erzeugt.

e. Eine Grammatik in Chomsky-Normalform darf Regeln der Form \( A \rightarrow a B \) enthalten.

f. Jede Grammatik in Chomsky-Normalform ist auch eine kontextsensitive Grammatik.

g. Jede kontextfreie Sprache ist auch eine kontextsensitive Sprache.

h. Jede reguläre Grammatik ist eindeutig.

i. Eine Grammatik besitzt genau eine Startvariable.

j. Eine Grammatik darf unendlich viele Regeln enthalten.

k. Sei \( L \) eine kontextfreie Sprache mit \( \varepsilon \notin L \), dann gibt es eine Grammatik in Chomsky-Normalform, die L erzeugt.

l. Auf der rechten Seite einer Regel muss mindestens eine Variable stehen.

m. Es gibt kontextfreie Sprachen, die nicht regulär sind.

n. Die von G erzeugte Sprache ist \( L(G)=\left\{x \in \Sigma^{*} | S \Rightarrow \dot{a} x\right\} \)

o. Jede kontextfreie Grammatik ist auch eine kontextsensitive Grammatik.

Also meine Antworten wären : c, e, g, i, j, j, k, l und n. Ist dies korrekt?

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Analyse der gegebenen Antworten:

a. Falsch. In kontextfreien Grammatiken kann auf der linken Seite einer Produktion genau eine Variable stehen, aber diese Aussage schließt nicht ein, dass es auch Produktionen gibt, die direkt auf ein Terminalsymbol oder das leere Wort \( \varepsilon \) reduzieren.

b. Falsch. Die korrekte Definition der von \( G \) erzeugten Sprache ist \( L(G) = \{ w \in \Sigma^* | S \Rightarrow^* w \} \), wobei \( \Rightarrow^* \) bedeutet, dass das Startsymbol \( S \) durch eine Folge von Produktionen in das Wort \( w \) überführt werden kann.

c. Falsch. Reguläre Grammatiken können Regeln der Form \( A \rightarrow a \) enthalten, wo \( a \) ein Terminal ist.

d. Richtig. Jede reguläre Sprache kann durch eine kontextfreie Grammatik erzeugt werden, da reguläre Grammatiken eine Untermenge der kontextfreien Grammatiken sind.

e. Falsch. In Chomsky-Normalform darf jede Produktion entweder in zwei Variablen oder in ein einzelnes Terminal \( A \rightarrow a \) umwandeln. Regeln der Form \( A \rightarrow aB \) sind nicht erlaubt.

f. Richtig. Jede Grammatik in Chomsky-Normalform ist kontextfrei und damit auch kontextsensitiv, da kontextsensitive Grammatiken eine Superset der kontextfreien Grammatiken sind.

g. Richtig. Jede kontextfreie Sprache ist auch eine kontextsensitive Sprache, da kontextsensitive Grammatiken eine allgemeinere Kategorie sind.

h. Falsch. Es gibt keine Eindeutigkeit von regulären Grammatiken für eine bestimmte Sprache. Mehrere verschiedene reguläre Grammatiken können die gleiche Sprache generieren.

i. Richtig. Eine Grammatik hat definitionsgemäß genau eine Startvariable.

j. Falsch. Eine Grammatik darf nicht unendlich viele Regeln enthalten. Grammatiken sind per Definition endlich.

k. Richtig. Für jede kontextfreie Sprache \( L \) mit \( \varepsilon \notin L \) gibt es eine äquivalente Grammatik in Chomsky-Normalform, die \( L \) erzeugt.

l. Falsch. Auf der rechten Seite einer Regel kann alles stehen, was im Alphabet \( V \cup \Sigma \) der Grammatik enthalten ist, oder das leere Wort \( \varepsilon \). Es ist nicht erforderlich, dass mindestens eine Variable steht.

m. Richtig. Es gibt kontextfreie Sprachen, die nicht regulär sind. Beispiele umfassen Sprachen, die eine Form von "Nesting" oder Balancierung erfordern, wie z.B. \( \{ a^n b^n | n \geq 1 \} \).

n. Falsch. Diese Aussage ist verwirrend und scheint typografisch fehlerhaft zu sein (Verwendung von \( \dot{a} \)). Die Definition von \( L(G) \), ähnlich wie bei b., ist nicht durch \( \Rightarrow \dot{a} \) korrekt dargestellt.

o. Richtig. Es gilt allgemein, dass kontextfreie Grammatiken eine Untermenge der kontextsensitiven Grammatiken sind. Jede kontextfreie Grammatik kann als kontextsensitive Grammatik betrachtet werden.

Zusammenfassung korrekter Antworten: d, f, g, i, k, m, o.