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Umformung in pränexe Normalform
Die Umwandlung einer logischen Formel in die pränexe Normalform (PNF) besteht darin, alle Quantoren nach vorne zu ziehen, sodass der restliche Teil der Formel (der Matrix) quantorenfrei ist. Die gegebene Formel \(H := (∀x.F(x) → ∀x.G(x))\) soll auf zwei Arten in die pränexe Normalform umgewandelt werden. Einerseits soll mit einem Universellen Quantor (∀x) begonnen werden und andererseits mit einem Existenzquantor (∃x).
BEGINN MIT ∀x
Zuerst betrachten wir die vorgeschlagene Umformung und korrigieren sie, wo nötig.
1. Startformel: \(H := (∀x.F(x) → ∀x.G(x))\)
Deine Umformung ist fehlerhaft, weil sie sofort ein negatives Zeichen einführt und versucht, Quantoren auf eine Weise zu eliminieren, die nicht korrekt ist. Die korrekte Umformung müsste wie folgt aussehen:
1. Die Formel in ihrer originalen Form: \(H := (∀x.F(x) → ∀x.G(x))\)
2. Anwenden der Implikationsumwandlung: \(H ≡ \neg (∀x.F(x)) ∨ (∀x.G(x))\)
Dies nutzt die Regel, dass \(P → Q ≡ \neg P ∨ Q\).
3. Da in \(∀x.F(x)\) und \(∀x.G(x)\) jeweils über \(x\) quantifiziert wird und diese Quantifizierungen außerhalb der Implikation stehen, muss man sicherstellen, dass durch eine Umbenennung eindeutige Bindungen für das Vorkommen der Variablen \(x\) in beiden Teilen der Formel existieren, besonders wenn wir Änderungen vornehmen, die die Reichweite der Quantoren beeinflussen. Aber in diesem Fall, wo beide Teile unabhängig von einander sind, ist eine Umbenennung nicht notwendig, um die pränexe Normalform zu erreichen. Stattdessen konzentrieren wir uns darauf, den Quantor nach vorne zu ziehen.
4. Da wir bereits beide Quantoren an der Spitze haben, bleibt die Herausforderung, mit der Implikation umzugehen, die umgewandelt wurde. Jedoch ist die ursprüngliche Interpretation der Umformung nicht korrekt durchgeführt worden, nämlich von der Implikation direkt zu negieren und zu versuchen, die Quantoren zu eliminieren. In Wirklichkeit ist die Formel bereits in einer Form, in der normale Techniken zur Erreichung einer pränexen Normalform vor dem Spezialfall der Handling von Implikationen angewendet werden müssen.
BEGINN MIT ∃x
1. Um mit einem Existenzquantor zu beginnen, betrachten wir, wie wir die Implikation und Allquantoren so umformen könnten, dass ein Existenzquantor erscheint.
2. Dennoch, direkt einen Existenzquantor einzuführen, ist nicht direkt möglich durch die gegebene Formel, da die Formel mit Universalquantoren beginnt. Es ist ein Missverständnis, zu denken, dass man direkt mit einem Existenzquantor anfangen kann, ohne die Struktur und die Bedeutung der Formel zu ändern.
3. Die Umwandlung einer Formel mit Allquantoren in eine Form, die mit Existenzquantoren beginnt, wäre in diesem Kontext erzwungen und bedeutungsverändernd. Stattdessen ist es sinnvoll, die Struktur der Implikation und die Anwendung der Quantoren zu verstehen, um korrekte Umformungen vorzunehmen.
Fazit
Die Aufgabe, eine gegebene Formel, die eine Implikation zwischen zwei mit Universalquantoren versehenen Aussagen enthält, in eine pränexe Normalform zu bringen, erfordert eine präzise Handhabung der Implikationsumformung und der Quantoren. Die vorgeschlagene Methode, negativ zu starten und dann zu versuchen, zu einem Existenzquantor zu kommen, ist nicht eine direkte Umwandlung zur pränexen Normalform. Stattdessen ist die korrekte Vorgehensweise, zuerst die Implikation korrekt umzuwandeln und sicherzustellen, dass die Quantoren korrekt angewendet werden, wobei die Möglichkeit einer Umbenennung der Variablen für klar getrennte Quantifizierungen in Betracht gezogen wird. Eine direkte Umwandlung in eine Formel, die mit einem Existenzquantor beginnt, ohne die Bedeutung zu verändern, ist in diesem Fall nicht möglich und wäre nicht zielführend.
