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a) Zeigen Sie dass die Funktion \(f:n \rightarrow n\), \(f(n) = n^n\) primitiv rekursiv ist.
Eine Funktion ist primitiv rekursiv, wenn sie durch eine endliche Anzahl von Anwendungen der Basisfunktion (Nullfunktion, Nachfolgerfunktion, Identitätsfunktion), durch Komposition und durch primitive Rekursion aus diesen Basisfunktionen erzeugt werden kann.
1.
Basisfunktionen: Die Nullfunktion \(Z(n)=0\), die Nachfolgerfunktion \(S(n)=n+1\) und die Projektionsfunktionen \(P_i^n(x_1,...,x_n) = x_i\) sind primitiv rekursiv.
2.
Komposition: Wenn \(g\) und \(h_1, ..., h_m\) primitiv rekursive Funktionen sind, dann ist auch \(f(x_1, ..., x_n) = g(h_1(x_1, ..., x_n), ..., h_m(x_1, ..., x_n))\) primitiv rekursiv.
3.
Primitive Rekursion: Wenn \(g\) und \(h\) primitiv rekursive Funktionen sind, dann ist auch \(f\) primitiv rekursiv, definiert durch:
- \(f(0, x_2, ..., x_n) = g(x_2, ..., x_n)\)
- \(f(y+1, x_2, ..., x_n) = h(f(y, x_2, ..., x_n), y, x_2, ..., x_n)\)
Um zu zeigen, dass \(f(n) = n^n\) primitiv rekursiv ist, beginnen wir mit den Basisfunktionen und verwenden die primitive Rekursion und Komposition:
1.
Schritt (Basisfall): \(f(0) = 0^0 = 1\), welches durch die Nachfolgerfunktion auf die Nullfunktion \(Z(0)\) dargestellt werden kann, wobei \(S(Z(0)) = 1\) ist.
2.
Schritt (Rekursionsschritt): \(f(n+1) = (n+1)^{(n+1)}\). Dies kann durch \(f(n) \cdot (n+1)\) ausgedrückt werden, was eine Komposition der Funktionen zur Multiplikation (eine primitiv rekursive Funktion) und der Nachfolgerfunktion ist.
Die Multiplikationsfunktion \(mul(x, y)\) ist auch primitiv rekursiv und kann durch primitive Rekursion ausgedrückt werden:
- \(mul(x, 0) = 0\)
- \(mul(x, y+1) = mul(x, y) + x\)
Daraus folgt, dass \(f(n) = n^n\) primitiv rekursiv ist, da sie nur durch Verwendung von primitiv rekursiven Funktionen (Multiplikation, Addition, Nachfolgerfunktion) und deren Komposition und primitive Rekursion ausgedrückt werden kann.
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b) Beweisen oder wiederlegen Sie die folgenden Aussagen.
1. Es gibt eine streng monoton steigende primitiv rekursive Funktion \(f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}\)
*Beweis*: Die Nachfolgerfunktion \(S(n) = n+1\) ist ein einfaches Beispiel für eine streng monoton steigende primitiv rekursive Funktion. Sie erfüllt die Kriterien für eine streng monoton steigende Funktion (\(n < m \Rightarrow S(n) < S(m)\)) und ist ein Grundbestandteil der primitiv rekursiven Funktionen. Somit existiert eine solche Funktion.
2. Es gibt eine streng monoton fallende primitiv rekursive Funktion \(f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}\)
*Widerlegung*: Da \(\mathbb{N}\) nicht negativ ist und eine streng monoton fallende Funktion, die überall in \(\mathbb{N}\) definiert ist, schließlich negative Werte erreichen würde, was außerhalb von \(\mathbb{N}\) liegt, kann es keine streng monoton fallende primitiv rekursive Funktion \(f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}\) geben.
3. Ist \(f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}\) primitiv rekursiv, so ist \(f\) surjektiv.
*Widerlegung*: Das ist nicht notwendigerweise wahr. Ein Gegenbeispiel ist die Funktion \(f(n) = n^2\), die primitiv rekursiv ist. Jedoch ist \(f\) nicht surjektiv, da es keine natürliche Zahl \(n\) gibt, für die \(f(n) = 2\) ist (es gibt keine ganze Zahl \(n\), so dass \(n^2 = 2\)).
4. Ist \(f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}\) primitiv rekursiv, so ist \(f\) total.
*Beweis*: Ja, primitiv rekursive Funktionen sind per Definition total, da jede primitiv rekursive Funktion für jede natürliche Zahl \(n\) einen eindeutigen Wert in \(\mathbb{N}\) liefert. Dies ist eine direkte Folge aus der Definition der primitiven Rekursivität, die besagt, dass solche Funktionen durch einen endlichen Prozess aus Basisfunktionen, deren Kompositionen und Anwendung der primitiven Rekursion konstruiert werden, wobei alle diese Konstrukte totale Funktionen sind.
