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(2,3)-Bäume Einfügungen und Löschungen
Bei einem (2,3)-Baum handelt es sich um einen speziellen Typ von balancierten Baumstrukturen, bei denen jeder Knoten entweder zwei oder drei Kinder haben kann. Beim Einfügen in einen (2,3)-Baum folgt man bestimmten Regeln, um sicherzustellen, dass der Baum seine balancierte Struktur beibehält. Beim Einfügen kann es notwendig sein, einen Knoten aufzuteilen, wenn dieser die maximale Anzahl an Elementen (in diesem Fall zwei) überschreitet.
Beim Einfügen:
1. Man beginnt mit der Suche nach dem korrekten Platz für das neue Element, indem man von der Wurzel ausgeht und entsprechend dem Wert des einzufügenden Elements nach unten navigiert.
2. Wenn der gefundene Blattknoten bereits zwei Elemente enthält (voll ist), muss er aufgeteilt werden.
Das Aufsteigen beim Aufteilen eines Knotens:
- Die Auswahl, welches Element beim Aufteilen eines vollen Knotens nach oben bewegt werden soll, basiert darauf, dass der resultierende Baum weiterhin die (2,3)-Baum Eigenschaften behalten muss. Dazu gehört, dass der Baum balanciert bleibt und dass in jedem Knoten die Werte von links nach rechts ansteigend sortiert sind.
- Wenn ein Knoten aufgeteilt wird, wählt man im Allgemeinen das mittlere Element der nun drei vorhandenen Elemente (nachdem das neue Element eingefügt wurde), um es nach oben zu befördern. Dies gewährleistet, dass die resultierenden Kindknoten die Bedingung erfüllen, dass sie eine gültige Anzahl von Elementen enthalten (entweder 1 oder 2).
- Im Beispiel der Frage, beim Einfügen der Zahl 4 in einen Knoten, der bereits die Zahl 6 enthält, resultiert dies im Bedarf, einen Knoten zu haben, der zwei Elemente enthält. Daher wird die 4 (als das mittlere Element, wenn man nur zwei Elemente betrachtet, d.h. es ist sowohl das kleinste als auch das "mittlere") nach oben befördert, um die Baumstruktur zu erhalten und um einen neuen Elternknoten zu erzeugen, mit jeweils einem Element in den Kindknoten.
In dem spezifischen Kontext der Frage:
- Die 4 wandert nach oben, weil sie in diesem Szenario sowohl die mittlere (in diesem speziellen Fall der Einfachheit halber auch die einzige und somit kleinste) Zahl ist, die dabei hilft, die (2,3)-Baum-Regeln zu erfüllen. Dies ist konsistent mit der allgemeinen Regel für (2,3)-Bäume bei der Aufteilung eines vollen Knotens: Das mittlere Element steigt auf.
Wichtig ist, dass das Prinzip des mittleren Elements, das aufsteigt, dazu führt, dass (2,3)-Bäume balanciert bleiben und effiziente Such-, Einfüge- und Löschoperationen ermöglichen, indem sichergestellt wird, dass die Baumhöhe minimal bleibt.
