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Leiten Sie zur folgenden Rekursionsformel die explizite Formel in O-Notation her:
Wir haben die Rekursionsformel:
\( T(n) = \begin{cases}
c & \text{wenn } n \leq 1 \\
10 T(n / 10) + cn & \text{wenn } n > 1
\end{cases} \)
Um eine explizite Formel in O-Notation zu finden, beginnen wir mit der Analyse der rekursiven Beziehung.
Da die Rekursion intervallweise um ein Zehntel verkleinert wird (durch den Ausdruck \( T(n / 10) \)), können wir feststellen, dass es sich um einen Fall der Master-Theorem-Anwendung handelt.
Das Master-Theorem bietet eine Methode, um einige rekursive Beziehungen in geschlossener Form auszudrücken. Es definiert die Laufzeit \(T(n)\) für ein Rekursionsproblem der Form:
\( T(n) = aT(n/b) + f(n) \)
mit den Konstanten \(a \geq 1, b > 1\), und \(f(n)\) als asymptotisch positive Funktion, vorausgesetzt, dass die Rekursion einen Dividieren-und-Herrschen-Ansatz verfolgt.
In unserem Fall ist:
- \(a = 10\), da wir für \(T(n / 10)\) mit zehn multiplizieren,
- \(b = 10\), weil wir die Eingabegröße bei jedem rekursiven Aufruf durch 10 teilen,
- \(f(n) = cn\), da dies der nicht-rekursive Teil der Formel ist.
Nach dem Master-Theorem müssen wir den log Basis \(b\) von \(a\) bestimmen, das ist \(\log_b a = \log_{10} 10 = 1\), um die richtige Fallunterscheidung zu treffen.
Der entscheidende Teil ist zu bestimmen, wie \(f(n)\), hier \(cn\), verglichen wird mit \(n^{\log_b a} = n^1 = n\). Da \(f(n) = cn\) und \(n^{\log_b a} = n\), haben wir, dass \(f(n)\) und \(n^{\log_b a}\) beide in \(\Theta(n)\) sind.
Laut Master-Theorem, wenn \(f(n) \in \Theta(n^{\log_b a})\), also \(f(n) \in \Theta(n^1)\) in unserem Fall, ist die Laufzeit der Rekursion:
\(T(n) \in \Theta(n\log n)\)
Im Endeffekt konvertiert die gegebene Rekursionsformel zu einer expliziten Formel in O-Notation als:
\(T(n) = O(n \log n)\)
Diese Analyse nimmt an, dass die Konstanten \(c\) und die Basisoperationen relativ zur Größe der Eingabe signifikant sind. Die O-Notation gibt die obere Grenze der Laufzeit an, und in diesem Fall zeigt sie, dass aufgrund des Teilens der Eingabegröße durch 10 und des hinzugefügten linearen Terms die Laufzeit \(O(n \log n)\) ist.
