Antwort mit KI erzeugt
Strukturelle Induktion Beweis
Um die Behauptung \(ƒ(v.w)=ƒ(v)+ƒ(w)-1\) für alle \(v,w \in \Sigma^*\) zu beweisen, nutzen wir die Methode der strukturellen Induktion. Bei dieser Methode beweisen wir zuerst die Gültigkeit der Behauptung für den Basisfall (leeres Wort \(\epsilon\)) und beweisen dann, dass, wenn die Behauptung für ein Wort der Länge \(n\) gilt, sie dann auch für Wörter der Länge \(n+1\) gilt.
Basisfall:
Für den Basisfall betrachten wir die Fälle, wenn \(v = \epsilon\) oder \(w = \epsilon\).
1.
Fall \(v = \epsilon\):
\(ƒ(\epsilon.w) = ƒ(w)\)
Da \(ƒ(\epsilon) = 1\), können wir schreiben:
\(ƒ(w) = 1 + ƒ(w) - 1 = ƒ(\epsilon) + ƒ(w) - 1\)
Somit ist die Behauptung für den Fall \(v = \epsilon\) bewiesen.
2.
Fall \(w = \epsilon\):
\(ƒ(v.\epsilon) = ƒ(v)\)
Da \(ƒ(\epsilon) = 1\), kann das entsprechend formuliert werden als:
\(ƒ(v) = ƒ(v) + 1 - 1 = ƒ(v) + ƒ(\epsilon) - 1\)
Damit ist die Behauptung ebenfalls für \(w = \epsilon\) bewiesen.
Induktionsschritt:
Nehmen wir nun an, dass die Behauptung für alle Wörter bis zu einer Länge von \(n\) gültig ist (Induktionshypothese). Wir müssen zeigen, dass die Behauptung auch für ein Wort der Länge von \(n+1\) gilt, unter der Annahme, dass ein beliebiges Wort aus \(\Sigma^*\) entweder die Form \(\epsilon\), oder die Form \(aw\) hat, mit \(a \in \Sigma\) und \(w \in \Sigma^*\).
Sei \(v = au\) und \(w\) ein beliebiges Wort aus \(\Sigma^*\), mit \(a \in \Sigma\) und \(u \in \Sigma^*\). Gemäß der Definition von \(ƒ\):
\(ƒ(v.w) = ƒ((au).w) = ƒ(a(u.w)) = 1 + ƒ(u.w)\)
Nach der Induktionshypothese gilt \(ƒ(u.w)=ƒ(u)+ƒ(w)-1\), also:
\(ƒ(a(u.w)) = 1 + (ƒ(u)+ƒ(w)-1) = (1 + ƒ(u)) + ƒ(w) - 1\)
Da \(v = au\), können wir \(1 + ƒ(u)\) durch \(ƒ(v)\) ersetzen:
\(ƒ(v.w) = ƒ(v) + ƒ(w) - 1\)
Damit haben wir gezeigt, dass, wenn die Eigenschaft für ein Wort der Länge \(n\) gilt, sie auch für ein Wort der Länge \(n+1\) gilt. Die Behauptung ist damit durch strukturelle Induktion für alle Wörter in \(\Sigma^*\) bewiesen.
