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Titel der Frage: Was ist die Anzahl der Durchläufe der äußeren while-Schleife bei BubbleSort für die Eingabefolge \(F_n\)?
Um die Anzahl der Durchläufe der äußeren while-Schleife von BubbleSort für die Eingabefolge \(F_n\) zu bestimmen, müssen wir zuerst ein Verständnis davon haben, wie die Eingabefolge \(F_n\) aussieht und wie BubbleSort funktioniert.
BubbleSort ist ein einfacher Sortieralgorithmus, der wiederholt durch eine Liste geht, benachbarte Elemente vergleicht und sie vertauscht, wenn sie in der falschen Reihenfolge sind. Die Durchgänge durch die Liste werden so lange wiederholt, bis die Liste sortiert ist. Die äußere while-Schleife steuert diese wiederholten Durchgänge.
Die Eingabefolge \(F_n\) für eine positive gerade natürliche Zahl \(n\) ist wie folgt definiert:
\(
f_{i}=\left\{\begin{array}{ll}
\frac{n}{2}+\frac{i+2}{2} & \text{falls } i \text{ gerade} \\
\frac{n}{2}-\frac{i-1}{2} & \text{falls } i \text{ ungerade}
\end{array}\right.
\)
Zuerst wollen wir die ersten paar Elemente der Sequenz \(F_n\) für ein paar Werte von \(n\) betrachten, um ein Gefühl für die Struktur der Sequenz zu bekommen.
Für \(n = 4\):
- \(f_0 = \frac{4}{2} + \frac{0+2}{2} = 3\)
- \(f_1 = \frac{4}{2} - \frac{1-1}{2} = 2\)
- \(f_2 = \frac{4}{2} + \frac{2+2}{2} = 4\)
- \(f_3 = \frac{4}{2} - \frac{3-1}{2} = 1\)
Also, für \(n = 4\), ist \(F_n = 3, 2, 4, 1\).
Für \(n\), das eine positive gerade Zahl ist, alternieren die Werte von \(F_n\) zwischen Werten oberhalb und unterhalb von \(\frac{n}{2}\), beginnend mit einem Wert über \(\frac{n}{2}\). Die Sequenz zeigt eine Alternierung, bei der Elemente, die an geraden Positionen (beginnend bei 0) sind, größer sind als das mittlere Element und die Elemente an ungeraden Positionen kleiner sind als das mittlere Element.
Beim Sortieren dieser Sequenz ist entscheidend zu bemerken, dass jedes Element im Wesentlichen "ausgetauscht" werden muss, bis es seine korrekte Position erreicht hat, da die Abfolge fast eine maximale Entfernung zwischen dem ursprünglichen und dem sortierten Zustand jedes Elements aufweist.
Die Anzahl der Durchläufe der äußeren while-Schleife bei BubbleSort für \(F_n\) entspricht daher (in etwa) der maximalen Entfernung, die ein Element von seiner sortierten Position hat. In diesem Fall:
- Die Elemente, die am weitesten von ihren finalen Positionen entfernt sind, befinden sich am Anfang und am Ende der Sequenz. Zum Beispiel muss das Element am Ende der Sequenz \(n/2\) Durchläufe machen, um an die erste Position zu gelangen, wenn \(n = 4\).
Daher kann man vermuten, dass die Anzahl der Durchläufe der äußeren while-Schleife von BubbleSort für \(F_n\) in der Größenordnung von \(n/2\) liegt, da dies die maximale Anzahl an Verschiebungen darstellt, die für das am weitesten entfernte Element erforderlich sein würden, um an seine korrekte Position zu gelangen.
Genauer gesagt, da jedes Element fast die halbe Liste durchqueren muss und BubbleSort jede benachbarte Vertauschung einzeln durchführt, ist die Anzahl der Durchläufe für das am weitesten entfernte Element gleich \(n - 1\). Denn BubbleSort muss jedes Element Schritt für Schritt bewegen, und für das letzte Element (am weitesten entfernt) bedeutet dies, es durch fast die gesamte Liste hindurch zu bewegen.
Fazit: Die Anzahl der Durchläufe der äußeren while-Schleife bei BubbleSort für die Eingabefolge \(F_n\) ist \(n - 1\), wenn \(n\) eine positive gerade Zahl ist, da dies die maximale Anzahl an Bewegungen ist, die für das am weitesten entfernte Element erforderlich sind, um an seine korrekte Position zu gelangen.
