Seien m, n, r ∈ N, wobei r ≤ m und r ≤ n. Zeigen Sie, dass

Question

Seien \(m, n, \; r ∈ ℕ\), wobei \( r ≤ m ,\ r ≤ n. \)

Zeigen Sie, dass

\(\begin{pmatrix} m+n\\r \end{pmatrix} = \sum \limits_{k=0}^{r} \begin{pmatrix} m\\r-k \end{pmatrix} . \begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix}\) gilt.

Answer 1

Hallo,

eine Variante wäre es mittels Induktion über \(r\in \mathbb{N}\) zu zeigen, eine weitere Variante wäre, mit dem binomischen Lehrsatz zu arbeiten. Dafür kann man so beginnen:

$$ \sum\limits_{r=0}^{m+n} \begin{pmatrix} m+n\\r \end{pmatrix}\cdot x^r=(1+x)^{m+n}=(1+x)^m\cdot (1+x)^n   $$

Setze nun für beide Faktoren wieder den binomischen Lehrsatz jeweils ein und berechne dieses Produkt von Polynomen mithilfe von

\(\biggl(\sum\limits_{i=0}^m a_ix^i\biggr) \biggl(\sum\limits_{j=0}^n b_jx^j\biggr) = \sum\limits_{r=0}^{m+n}\biggl(\sum\limits_{k=0}^r a_k b_{r-k}\biggr) x^r\), wobei hierfür die Koeffizienten \(a_i\) und \(b_j\) bestimmen musst.