B-Baum Algorithm Ordnung 4

Question

Frage:

Gegeben sei ein aufsteigend geordneter B-Baum T der Ordnung m = 4 mit Wurzel w, insgesamt n Knoten und Höhe h. In jedem inneren Knoten v sind i Schlüssel vom Typ Integer in dem Array v.keys gespeichert, 0 < i < 4. Es bezeichne s.left bzw. s.right den linken bzw. rechten Sohn von Schlüssel s. Wenn der linke bzw. rechte Sohn ein Blatt ist, ist s.left bzw. s.right gleich NIL. Sei außerdem v.parent der Vater von v.

(a) Zeichnen Sie alle möglichen B-Bäume der Ordnung m = 4 mit mindestens drei und maximal vier Schlüsseln, wobei die Schlüssel 0, 1, 2 und ggf. 3 sind. Die B-Bäume mit drei Schlüsseln sollen ohne den Schlüssel 3 gezeichnet werden.

(b) Implementieren Sie in Pseudocode eine Funktion third_smallest(T), die in O(h) den Wert des drittkleinsten Schlüssels von T zurückgibt. Sie dürfen davon ausgehen, dass T drei oder mehr Schlüssel besitzt. Begründen Sie, warum die geforderte Laufzeit eingehalten wird.

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

B-Bäume Ordnung 4

(a) Alle möglichen B-Bäume der Ordnung 4

B-Bäume der Ordnung 4 (m=4) können zwischen 2 und 4 Schlüsseln pro Knoten haben. Hier sind die gefragten Bäume mit 3 und bis zu 4 Schlüsseln:

1. Bäume mit drei Schlüsseln (ohne Schlüssel 3):
- Ein einzelner Knoten mit den Schlüsseln [0, 1, 2]. Da es nur drei Schlüssel sind und ein Baum der Ordnung 4 zwischen 2 und (m-1) Schlüssel pro Knoten auf der Wurzelebene haben kann, ist dies eine gültige Konfiguration.

   [0, 1, 2]
   

2. Bäume mit vier Schlüsseln:
- Wir können einen Baum mit einer Wurzel, die zwei Schlüssel enthält, und zwei Blättern vorstellen. Ein Blatt enthält den verbleibenden Schlüssel. Aufgrund der Ordnung 4 und der Anforderung, aufsteigend geordnet zu sein, gibt es zwei Möglichkeiten:

   [1, 2]
   /    \
  [0]  [3]
   

oder

   [0, 2]
   /    \
  [1]  [3]
   

sowie

   [0, 1]
   /    \
  [2]  [3]
   

- Ein anderer Fall wäre ein Baum mit einer Wurzel, die einen Schlüssel enthält, und zwei Kinderknoten. Dies ist jedoch mit der gegebenen Ordnung und der Anzahl der Schlüssel nicht direkt umsetzbar, ohne die Ordnungsregeln zu verletzen, da ein Knoten nicht alleine mit drei Kinderknoten und nur einem Schlüssel existieren kann.

B-Bäume der Ordnung 4 mit 3 und 4 Schlüsseln sind in ihrer Struktur begrenzt. Die gezeichneten Bäume oben stellen die Hauptkonfigurationen dar, die diese Bedingungen erfüllen.

(b) Pseudocode für die Funktion third_smallest(T)

Die Herausforderung besteht darin, den drittkleinsten Schlüssel in einem solchen Baum effizient zu finden.

pseudocode
function third_smallest(T)
    current_node := T.root
    while current_node is not a leaf
        // Hat der Knoten mehr als 2 Kinder, ist der drittkleinste Schlüssel im dritten Kind
        // oder in den Kindern seines dritten Kindes, wenn dieser mehr als ein Schlüssel hat.
        if length(current_node.children) > 2
            current_node := current_node.children[2]
        else
            current_node := current_node.children[0]
        end if
    end while
    if length(current_node.keys) >= 3
        return current_node.keys[2] // Indexierung beginnt bei 0
    else
        // Hier muss ein spezieller Fall behandelt werden, z.B. wenn alle Schlüssel
        // in der Wurzel sind oder eine ungleiche Verteilung vorliegt. Die genaue Behandlung
        // hängt von der Baumstruktur ab. Für den allgemeinen Fall kann dies komplexer werden
        // und benötigt mehr Informationen über den Baum.
    end if
end function

Begründung der Laufzeit O(h):

Die Funktion third_smallest(T) läuft in O(h), da sie den Baum von der Wurzel zu den Blättern hin durchläuft, wobei in jedem Schritt ein Kind des aktuellen Knotens gewählt wird, bis ein Blatt erreicht wird. Die Höhe \( h \) des Baumes bestimmt die maximale Anzahl der Durchläufe, die in diesem Prozess durchgeführt werden müssen, was direkt proportional zur Laufzeit der Funktion ist. Der Fall, dass die gezielte Suche innerhalb eines Knotens durchgeführt wird, erhöht die Laufzeit nur um einen konstanten Faktor, welcher die Laufzeitkomplexität \( O(h) \) nicht ändert. Die angesprochene Ausnahmebehandlung könnte komplex sein, aber die Laufzeit bis zu diesem Punkt bleibt \( O(h) \).