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RSA Verschlüsselung
RSA ist ein asymmetrisches Verschlüsselungsverfahren, das zwei Schlüssel verwendet: einen öffentlichen Schlüssel zum Verschlüsseln von Daten und einen privaten Schlüssel zum Entschlüsseln. Die Sicherheit basiert auf der Schwierigkeit, große Primzahlen zu faktorisieren.
Gegebene Informationen:
- \(p=5\)
- \(q=7\)
- Begriff, der verschlüsselt werden soll: LudS, wobei \(L=12\), \(U=21\), \(D=4\), \(S=19\).
Vorbereitung:
1. Berechne \(N\) und \(\phi(N)\) (Eulersche Phi-Funktion)
2. Wähle ein \(e\), sodass \(gcd(e, \phi(N)) = 1\)
3. Berechne \(d\), sodass \(d \equiv e^{-1} \mod \phi(N)\)
Berechnung:
1.
Berechnung von \(N\) und \(\phi(N)\):
- \(N = p \times q = 5 \times 7 = 35\)
- \(\phi(N) = (p-1)(q-1) = 4 \times 6 = 24\)
2.
Wahl von \(e\):
- \(e=11\) ist eine Wahl, die dem Kriterium \(gcd(e, \phi(N)) = 1\) entspricht.
3.
Berechnung von \(d\) mittels erweitertem euklidischen Algorithmus:
- Der erweiterte euklidische Algorithmus kann verwendet werden, um \(d\) zu finden, wobei \(d\) das multiplikative Inverse von \(e\) modulo \(\phi(N)\) ist.
Lösung des Missverständnisses bei der Berechnung von \(d\):
Für \(e = 11\), die Berechnung scheint auf einen falschen Wert von \(d\) hinzudeuten. Die korrekte Berechnung von \(d\), sollte so aussehen, dass \(ed \equiv 1 \mod \phi(N)\) gilt.
Verwenden wir Python zur Berechnung von \(d\):
python
def egcd(a, b):
if a == 0:
return (b, 0, 1)
else:
g, x, y = egcd(b % a, a)
return (g, y - (b // a) * x, x)
def modinv(e, phi):
g, x, y = egcd(e, phi)
if g != 1:
raise Exception('modular inverse does not exist')
else:
return x % phi
# Parameter
p = 5
q = 7
N = p * q
phi_N = (p - 1) * (q - 1)
e = 11 # Erster Versuch mit e = 11
# Berechnung von d
d = modinv(e, phi_N)
print("Der Wert von d für e=11 ist:", d)
Ergebnis: Der obige Code berechnet \(d\) korrekt für den gegebenen Wert von \(e\).
Verschlüsselung von LudS:
Nachdem \(e\), \(N\) und \(d\) gefunden wurden, wird die Verschlüsselung durch die Formel
\( c = m^e \mod N \)
durchgeführt, wobei \(c\) der verschlüsselte Text und \(m\) die zu verschlüsselnde Nachricht (hier die Zahlenrepräsentation der Buchstaben) ist.
Die Entschlüsselung würde analog durch die Formel
\( m = c^d \mod N \)
erfolgt, wobei \(m\) die ursprüngliche Nachricht darstellt.
Zusammenfassend: Der Schlüssel zur Lösung deines Problems liegt in der korrekten Berechnung von \(d\) mittels des erweiterten euklidischen Algorithmus. Versuche, den oben genannten Python-Code zu verwenden, um \(d\) korrekt zu berechnen. Danach kannst du die Verschlüsselung der gegebenen Zahlen durchführen, indem du jede Zahl \(m\) (repräsentiert durch L, U, D, S) entsprechend umwandelst.
