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Disjunktive Normalform (DNF) von g(a, b, c)
Um die disjunktive Normalform einer Funktion zu finden, betrachten wir alle Fälle, in denen die Funktion \(g(a, b, c)\) den Wert 1 annimmt. Jeder dieser Fälle stellt einen Minterm dar und alle Minterme zusammen, verbunden durch eine ODER-Operation (disjunktive Verbindung), ergibt die disjunktive Normalform.
Aus der gegebenen Wahrheitstabelle:
- \(g(0, 0, 0) = 1\)
- \(g(0, 1, 0) = 1\)
- \(g(0, 1, 1) = 1\)
- \(g(1, 0, 1) = 1\)
- \(g(1, 1, 0) = 1\)
- \(g(1, 1, 1) = 1\)
DNF: \( g(a, b, c) = (\overline{a} \cdot \overline{b} \cdot \overline{c}) + (\overline{a} \cdot b \cdot \overline{c}) + (\overline{a} \cdot b \cdot c) + (a \cdot \overline{b} \cdot c) + (a \cdot b \cdot \overline{c}) + (a \cdot b \cdot c) \)
Hierbei repräsentiert \(\overline{x}\) die Negation (nicht x), und \(+\) steht für die ODER-Operation.
Konjunktive Normalform (KNF) von g(a, b, c)
Um die konjunktive Normalform zu finden, betrachten wir alle Fälle, in denen die Funktion \(g(a, b, c)\) den Wert 0 annimmt. Jeder dieser Fälle bildet einen Maxterm und alle Maxterme zusammen, verbunden durch eine UND-Operation (konjunktive Verbindung), ergeben die konjunktive Normalform.
Aus der gegebenen Wahrheitstabelle:
- \(g(0, 0, 1) = 0\)
- \(g(1, 0, 0) = 0\)
KNF: \( g(a, b, c) = (a + b + \overline{c}) \cdot (\overline{a} + b + c) \)
In dieser Formulierung steht \(\cdot\) für die UND-Operation, und \(+\) repräsentiert weiterhin die ODER-Operation.
Somit haben wir \(g\) sowohl in disjunktiver als auch in konjunktiver Normalform ausgehend von der gegebenen Wahrheitstabelle ausgedrückt.
