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Aufbau eines deterministischen endlichen Automaten (DFA) für die Sprache \(L=\{ab, ba, bab, bba, bbb\}\)
Um einen DFA für die gegebene Sprache \(L\) zu bilden, müssen wir die Eigenschaften der Sprache und die Definition eines DFA in Betracht ziehen. Ein DFA ist eine mathematische Abstraktion, die verwendet wird, um eine bestimmte Sprache genau zu akzeptieren. Ein DFA besteht aus fünf Komponenten: einem Zustandsset, einem Eingabealphabet, einer Übergangsfunktion, einem Startzustand und einem oder mehreren Endzuständen.
Für die Sprache \(L=\{ab, ba, bab, bba, bbb\}\) müssen wir daher folgende Schritte durchführen, um einen DFA zu erstellen:
1.
Definieren des Alphabets: Das Alphabet der Sprache \(L\) ist \(Σ=\{a, b\}\).
2.
Startzustand definieren: Wir beginnen mit einem Startzustand \(q_0\), von dem aus wir die Wörter in \(L\) akzeptieren können.
3.
Endzustände definieren: Für jedes Wort in \(L\) muss ein spezifischer Pfad vom Startzustand zu einem Endzustand existieren. Da wir fünf unterschiedliche Wörter haben, brauchen wir mindestens fünf Endzustände, jeweils einen für jedes Wort. Es kann aber auch Überschneidungen in den Zuständen für die verschiedenen Wörter geben, je nachdem, wie der Automat aufgebaut ist.
4.
Zustandsübergänge konstruieren: Für jede mögliche Eingabe \(a\) oder \(b\) müssen wir aus jedem Zustand heraus definieren, zu welchem anderen Zustand der Automat wechselt. Dies inkludiert auch Zustände, die letztlich nicht zu einem Wort in \(L\) führen, sondern Teil der notwendigen Struktur des DFA sind, um alle nicht in \(L\) enthaltenen Zeichenketten zu verwerfen.
Konstruktion des DFA
Da eine bildliche Darstellung hilfreich, aber hier nicht direkt möglich ist, beschreiben wir die Struktur des Automaten und den Aufbau mit einem hypothetischen Zustandsdiagramm.
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Startzustand: \(q_0\)
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Eingabealphabet: \(\{a, b\}\)
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Zustände und Übergänge:
- Von \(q_0\) aus führt eine \(a\) nach \(q_a\) und eine \(b\) nach \(q_b\).
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Für das Wort "ab": Von \(q_a\) aus führt eine \(b\) nach \(q_{ab}\), einem Endzustand.
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Für das Wort "ba": Von \(q_b\) aus führt eine \(a\) nach \(q_{ba}\), einem weiteren Endzustand.
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Für weitere Wörter wie "bab", "bba" und "bbb" müssen zusätzliche Zustände und Übergänge definiert werden, basierend auf den ersten beiden Buchstaben des Wortes und den folgenden Übergängen.
- Zustände wie \(q_{bb}\) (nach zwei \(b\)s von \(q_0\)) und entsprechende Übergänge zu Endzuständen für "bba" und "bbb" müssen definiert werden.
Die Reihenfolge der Buchstaben spielt eine wesentliche Rolle bei der Definition der Übergänge im DFA. Der Automat muss exakt die Struktur und Reihenfolge der Buchstaben für jedes Wort in \(L\) erkennen können. Es ist nicht ausreichend, lediglich eine "Kette" aller Buchstaben ohne Beachtung ihrer Reihenfolge zu erstellen, denn der DFA muss exakt differenzieren können, welches Wort gelesen wird, um zu entscheiden, ob dieses Wort zu \(L\) gehört und entsprechend akzeptiert werden soll.
Ohne die Möglichkeit, einen visuellen Automaten darzustellen, ist es empfohlen, den DFA auf Papier zu skizzieren, indem man mit dem Startzustand beginnt, schrittweise für jede Eingabe \(a\) und \(b\) die Zustandsübergänge festhält und die entsprechenden Endzustände für jedes Wort in \(L\) markiert. Ein solcher Ansatz hilft, den Überblick über die Struktur des Automaten zu behalten und sicherzustellen, dass alle Wörter in \(L\) korrekt akzeptiert werden, während andere Wörter abgelehnt werden.
