Pumping Lemma, Anzahl von Buchstabe a ist Zweierpotenz/Primzahl. Beweis Sprache nicht regulär.

Question

Frage:

Zeigen, dass die Sprache regulär oder nicht regulär ist. Das Alphabet ist (a,b,c)

\( \text { a) } L_{3}=\left\{w \in \Sigma^{*} \mid \#_{a}(w) \text { ist eine Zweierpotenz }\right\} \)

\( \text { b) } L_{1}=\left\{w \in \Sigma^{*} \mid \#_{a}(w) \text { ist eine Primzahl }\right\} \)

Das #a(w) ist die Anzahl der a im Wort. Beim ersten muss das Wort also 1,2,4,8 .... a haben und beim zweiten eben eine Primzahl.

Ansatz/Problem:

Bin mir ziemlich sicher das man das in beiden fällen hier mit dem Pumping Lemma machen muss, da ich ebenfalls der Meinung bin, beide Sprachen sind nicht regulär.

Mir ist nicht ganz klar wie ich hier das Pumping Lemma anwenden muss, allerdings habe ich es bisher auch nur bei sehr einfachen Beispielen gemacht. Die Aufgabe mit den Primzahlen soll anscheinend ziemlich schwer sein.

Comments

Nimm an, dass L regulär ist. Dann müsste es laut Definition eine Pumpinglänge n > 0 geben und man kann ein Wort aus der Sprache L mit |w| > n wählen, welches sich für den Beweis eignet. Hier könntest du zum Beispiel \(w = a^{2^n}\) wählen.

Nehme an, dass \(u,v,w \in \Sigma^*\) beliebig sind und das \(|uv|\leq n\) und \(|v|>0\) gilt. Nun zeigst du, dass für ein bestimmtes i, \(uv^iw\notin L\) ist. Dann kannst du schlussfolgern, dass L nicht regulär war.

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Pumping Lemma für Reguläre Sprachen

Das Pumping Lemma sagt aus, dass, wenn eine Sprache \(L\) regulär ist, dann existiert eine Zahl \(p\) (die Pumping Länge), sodass jedes Wort \(w\) mit einer Länge von mindestens \(p\), in drei Teile \(x\), \(y\), und \(z\) zerlegt werden kann, so dass gilt:

1. \(|xy| \leq p\)
2. \(|y| > 0\)
3. Für alle \(i \geq 0\) gilt \(xy^iz \in L\)

Zum Beweisen, dass eine Sprache nicht regulär ist, nehmen wir das Gegenteil an und zeigen, dass diese Annahme zu einem Widerspruch führt, unter Verwendung der Bedingungen des Pumping Lemmas.

Sprache \(L_3\) mit Zweierpotenzen

Um zu beweisen, dass \(L_3\) nicht regulär ist, gehen wir in folgenden Schritten vor:

Schritt 1: Annahme \(L_3\) ist regulär.
Angenommen, \(L_3\) sei regulär. Dann existiert eine Pumping Länge \(p\).

Schritt 2: Wähle ein Wort \(w\) aus \(L_3\).
Wir wählen \(w = a^{2^k}\), wobei \(2^k \geq p\). Das Wort \(w\) gehört zu \(L_3\), da die Anzahl der \(a\)'s eine Zweierpotenz ist.

Schritt 3: Zerlegung von \(w\) in \(x\), \(y\), und \(z\).
Gemäß dem Pumping Lemma können wir \(w\) so zerlegen, dass \(|xy| \leq p\), \(|y| > 0\), und \(xy^iz \in L_3\) für alle \(i \geq 0\).

Schritt 4: Widerspruch zeigen.
Nehmen wir an, \(y\) besteht nur aus \(a\)'s, sagen wir \(|y| = m\). Wenn wir \(y\) pumpen (z.B. \(i = 2\)), erhalten wir \(x(yy)z = a^{2^k+m}\), was keine Zweierpotenz mehr ist, falls \(m\) nicht gerade \(2^k\) ist (was es fast immer nicht sein wird, außer bei speziell konstruierten Fällen). Damit wäre \(xy^iz\) nicht in \(L_3\), was im Widerspruch zur Annahme steht, dass \(L_3\) regulär ist.

Schlussfolgerung:
Die Annahme führt zu einem Widerspruch; folglich ist \(L_3\) nicht regulär.

Sprache \(L_1\) mit Primzahlen

Der Beweis für \(L_1\) folgt einer ähnlichen Logik, aber mit einer spezifischen Anpassung an das Verständnis von Primzahlen.

Schritt 1: Annahme \(L_1\) ist regulär.
Wir nehmen wiederum an, \(L_1\) sei regulär.

Schritt 2: Wähle ein Wort \(w\) aus \(L_1\).
In diesem Fall wählen wir \(w = a^q\), wobei \(q\) eine Primzahl ist, die größer als die Pumping-Länge \(p\) ist.

Schritt 3: Zerlegung und Pumpen.
Nach dem Pumping Lemma teilen wir \(w\) in \(x\), \(y\), und \(z\) auf, wobei \(y\) mindestens ein \(a\) enthält.

Schritt 4: Widerspruch zeigen.
Beim Pumpen um \(i\) mal (z.B. \(i = 2\)) erhalten wir ein Wort \(w' = xy^iz\), dessen Anzahl an \(a\)'s nicht mehr prim ist, da wir einfach die Anzahl der \(a\)'s um ein nicht-primen Vielfachen erhöhen. Dies führt zu einem direkten Widerspruch, da diese manipulierten Wörter nicht in \(L_1\) sein können, womit die Annahme, dass \(L_1\) regulär ist, falsch ist.

Schlussfolgerung:
Die Annahme führt zu einem Widerspruch; daher ist auch \(L_1\) nicht regulär.

Diese Beweisführungen zeigen, dass beide Sprachen \(L_3\) und \(L_1\) nicht regulär sind, unter Verwendung des Konzepts des Pumping Lemmas und des Verständnisses von Zweierpotenzen bzw. Primzahlen.