Master-Theorem / Wie anwenden und argumentieren?

Question

Aufgabe:

Sei \( m \) Ihre Matrikelnummer und \( r:=(m \bmod 10)+3 \). Finden Sie für jeden der folgenden Terme mit Hilfe der Master-Methode aus der VO (Thm. 172 bzw. 173) ein \( f \), sodass \( T \in \Theta(f) \), oder argumentieren Sie, warum die Master-Methode nicht anwendbar ist.

a) \( T(n)=4 T(n / 2)+n \log n^{r} \),

b) \( T(n)=27 T(n / 3)+n^{2}(n+r) \),

c) \( T(n)=4 T(n / 4)+n \log n \),

d) \( T(n)=T(n / 3)+T(2 n / 3)+r \log n \),

e) \( T(n)=3 T(n / 2)+n^{r} \).

Definition:

Consider constants \( n_{0} \in \mathbb{N} \) and \( a \in \mathbb{N}, b \in \mathbb{R} \) with \( b>1 \), and a function \( f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}_{0}^{+} \). Let \( T: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}_{0}^{+} \)be an eventually non-decreasing function such that
\( T(n)=a \cdot T\left(\frac{n}{b}\right)+f(n) \)
for all \( n \in \mathbb{N} \) with \( n \geq n_{0} \), where we interpret \( \frac{n}{b} \) as either \( \left\lceil\frac{n}{b}\right\rceil \) or \( \left\lfloor\frac{n}{b}\right\rfloor \). Then we have

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Anwendung der Master-Methode und Argumentation

Die Master-Methode ist eine Formel zur Bestimmung der Laufzeit von rekursiven Algorithmen, spezifisch ist sie anwendbar für Rekursionen der Form \(T(n) = aT(n/b) + f(n)\), wo \(a \geq 1\), \(b > 1\), und \(f(n)\) eine gegebene Funktion ist. Der Unsicherheitsfaktor \(\lceil n/b \rceil\) oder \(\lfloor n/b \rfloor\) wird normalerweise ignoriert, um die Berechnung zu vereinfachen, indem \(n/b\) angenommen wird.

Laut der Master-Methode gibt es drei Fälle zu betrachten, um \(T(n)\) zu bestimmen:

- Fall 1: Wenn \(f(n) = O(n^{\log_b a - \varepsilon})\) für ein \(\varepsilon > 0\), dann \(T(n) = \Theta(n^{\log_b a})\).

- Fall 2: Wenn \(f(n) = \Theta(n^{\log_b a})\), dann \(T(n) = \Theta(n^{\log_b a} \log n)\).

- Fall 3: Wenn \(f(n) = \Omega(n^{\log_b a + \varepsilon})\) für ein \(\varepsilon > 0\) und wenn \(a f(n/b) \leq k f(n)\) für ein \(k < 1\) und genügend große \(n\), dann ist \(T(n) = \Theta(f(n))\).

a) \( T(n)=4 T(n / 2)+n \log n^{r} \)

Hier haben wir \(a = 4\), \(b = 2\), und \(f(n) = n \log n^r = n^{r+1} \log n\).

\(n^{\log_b a} = n^{\log_2 4} = n^2\)

Da \(r+1 > 2\) für alle \(r \geq 3\), folgt daraus, dass \(f(n)\) die Bedingung für Fall 3 erfüllt. Daher ist \(T(n) \in \Theta(n^{r+1} \log n)\).

b) \( T(n)=27T(n/3)+n^2(n+r) = 27T(n/3)+n^{3}+rn^2 \)

In dieser Gleichung haben wir \(a = 27\), \(b = 3\), und \(f(n) = n^{3}+rn^2\).

\(n^{\log_b a} = n^{\log_3 27} = n^{3}\)

Da \(f(n)\) eine Kombination aus \(n^3\) und einem niedrigeren Grad \(n^2\) Term ist, dominiert \(n^3\) für große \(n\), und wir können \(f(n) = n^3 + rn^2\) als \(\Theta(n^3)\) betrachten.

Da \(f(n)\) und \(n^{\log_b a}\) beide \(\Theta(n^{3})\), passt das in den zweiten Fall der Master-Methode, deswegen ist \(T(n) \in \Theta(n^{3} \log n)\).

c) \( T(n)=4 T(n / 4)+n \log n \)

Hier haben wir \(a = 4\), \(b = 4\), und \(f(n) = n \log n\).

\(n^{\log_b a} = n^{\log_4 4} = n^1 = n\)

Der \(\log n\) Faktor wird im Fall 2 berücksichtigt, deshalb ist \(T(n) \in \Theta(n \log n)\).

d) \( T(n)=T(n / 3)+T(2n / 3)+r \log n \)

Diese Rekursionsgleichung passt nicht zur Standardform für die Master-Methode, da wir zwei verschiedene rekursive Aufrufe haben. Daher ist die Master-Methode hier nicht direkt anwendbar und alternative Techniken, wie rekursive Baummethoden oder das Akra-Bazzi-Theorem sind erforderlich. Argumentation basiert darauf, dass die Master-Methode nur für Rekursionen von der spezifischen Form \(aT(n/b) + f(n)\) anwendbar ist.

e) \( T(n)=3T(n / 2)+n^{r} \)

Hier \(a = 3\), \(b = 2\) und \(f(n) = n^r\).

\(n^{\log_b a} = n^{\log_2 3}\)

In diesem Fall müssen wir den Wert von \(r\) im Vergleich zu \(\log_2 3\) betrachten.

- Für \(r > \log_2 3\), fällt \(f(n)\) unter Fall 3 und \(T(n) \in \Theta(n^r)\).
- Für \(r = \log_2 3\), ist es Fall 2 und \(T(n) \in \Theta(n^r \log n)\).
- Für \(r < \log_2 3\), wäre es Fall 1 und \(T(n) \in \Theta(n^{\log_2 3})\).

Ohne einen spezifischen Wert für \(r\) zu haben, ist es wichtig, zu beachten, dass die anwendbare Lösung von der Größe von \(r\) im Verhältnis zu \(\log_2 3\) abhängt.