Antwort mit KI erzeugt
Behauptung a) \(L1^* \cup L1 = L1^*\)
Beweis:
*Kleene-Stern-Operation:* Die Kleene-Stern-Operation, notiert als \(L1^*\), repräsentiert die Menge aller Wörter, die durch die Konkatenation von null oder mehr Wörtern aus \(L1\) gebildet werden können. Per Definition ist das leere Wort \(\epsilon\) immer in \(L1^*\), unabhängig vom Inhalt von \(L1\).
- Zuerst weisen wir nach, dass \(L1^* \cup L1 \subseteq L1^*\): Jedes Wort in \(L1^*\) ist bereits in \(L1^*\) per Definition. Jedes Wort in \(L1\) ist auch in \(L1^*\), da \(L1^*\) alle Konkatenationen von Wörtern in \(L1\) enthält, einschließlich der Wörter in \(L1\) selbst (also eine Konkatenation von genau einem Wort aus \(L1\)). Daher ist jedes Element von \(L1^* \cup L1\) in \(L1^*\).
- Als Nächstes zeigen wir, dass \(L1^* \subseteq L1^* \cup L1\): Dies folgt direkt aus der Definition der Vereinigungsmenge, da alle Elemente von \(L1^*\) in der Vereinigungsmenge \(L1^* \cup L1\) enthalten sind.
Aus beiden Punkten folgt, dass die beiden Mengen gleich sind. Also ist die Behauptung \(L1^* \cup L1 = L1^*\) wahr.
Behauptung b) \(L1 \cdot (L2 \cup L3) = (L1 \cdot L2) \cup (L1 \cdot L3)\)
Beweis:
- *Konkatenation:* Die Konkatenation von zwei Sprachen \(L1\) und \(L2\), notiert als \(L1 \cdot L2\), ist die Menge aller Wörter, die durch die Konkatenation jedes Wortes in \(L1\) mit jedem Wort in \(L2\) entsteht.
- *Vereinigung:* Die Vereinigung von \(L2\) und \(L3\), notiert als \(L2 \cup L3\), ist die Menge aller Wörter, die in mindestens einer der beiden Sprachen \(L2\) oder \(L3\) vorkommen.
Zu zeigen: Jedes Wort in \(L1 \cdot (L2 \cup L3)\) ist auch in \((L1 \cdot L2) \cup (L1 \cdot L3)\) und umgekehrt.
1. \(L1 \cdot (L2 \cup L3) \subseteq (L1 \cdot L2) \cup (L1 \cdot L3)\): Jedes Wort in der Menge auf der linken Seite resultiert aus der Konkatenation eines Wortes aus \(L1\) mit einem Wort, das entweder in \(L2\) oder \(L3\) oder in beiden ist. Wenn das Wort aus \(L2\) kommt, dann ist das resultierende Wort in \(L1 \cdot L2\); kommt das Wort aus \(L3\), ist das resultierende Wort in \(L1 \cdot L3\). In beiden Fällen ist das Wort in der Vereinigung von \((L1 \cdot L2) \cup (L1 \cdot L3)\).
2. \((L1 \cdot L2) \cup (L1 \cdot L3) \subseteq L1 \cdot (L2 \cup L3)\): Jedes Wort in der Vereinigungsmenge \( (L1 \cdot L2) \cup (L1 \cdot L3) \) ist entweder ein Wort in \( L1 \cdot L2 \) oder ein Wort in \(L1 \cdot L3\), oder in beiden. Das bedeutet, das Wort resultiert aus der Konkatenation eines Wortes in \(L1\) mit einem Wort, das entweder in \(L2\) oder in \(L3\) ist. Daher ist jedes solche Wort in der Menge \(L1 \cdot (L2 \cup L3)\).
Daraus folgt, dass jedes Wort in \(L1 \cdot (L2 \cup L3)\) auch in \((L1 \cdot L2) \cup (L1 \cdot L3)\) und umgekehrt ist, also \(L1 \cdot (L2 \cup L3) = (L1 \cdot L2) \cup (L1 \cdot L3)\). Die Behauptung ist somit wahr.
