Schreiben Sie mit Hilfe Ihrer Implementierung (oder der Maple-Funktion igcdex) eine Prozedur,

Question

Aufgabe:

Schreiben Sie mit Hilfe Ihrer Implementierung (oder der Maple-Funktion igcdex) eine Prozedur, die die Lösungsmenge der simultanen Kongruenzen

x ≡ a1 mod n1 (1)

x ≡ a2 mod n2 (2)

für a1, a2 ∈ Z und n1, n2 ∈ Z>0 mit ggT(n1, n2) = 1 bestimmt.

Testen Sie Beispiele und drucken Sie diese mit aus. Vergleichen Sie das Ergebnis mit der Maple-Funktion chrem.

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Lösung der simultanen Kongruenzen:

Um die Lösungsmenge der simultanen Kongruenzen zu bestimmen, können wir den Chinesischen Restsatz verwenden. Der Chinesische Restsatz besagt, dass wenn \(n_1\) und \(n_2\) teilerfremd sind (d.h., \(ggT(n_1, n_2) = 1\)), dann gibt es für jedes Paar von ganzen Zahlen \(a_1\) und \(a_2\) genau eine ganze Zahl \(x\), modulo dem Produkt \(n_1n_2\), die beide Kongruenzen löst.

Die Lösung \(x\) kann mittels der Formel
\(x = (a_1n_2s + a_2n_1t) \mod n_1n_2\)
gefunden werden, wobei \(s\) und \(t\) so gewählt sind, dass sie die Gleichung \(n_2s + n_1t = 1\) lösen. Hier kann man die erweiterte Euklidische Algorithmus-Funktion \(igcdex\) in Maple verwenden, um \(s\) und \(t\) zu finden.

Implementierung in Python

Wir können eine ähnliche Funktion in Python implementieren, um die Lösungen der gegebenen simultanen Kongruenzen zu finden, auch ohne Maple zu nutzen:

python
def extended_gcd(a, b):
    # Initialisierung der Koeffizienten
    s0, t0, s1, t1 = 1, 0, 0, 1
    while b != 0:
        q, a, b = a // b, b, a % b
        s0, s1 = s1, s0 - q * s1
        t0, t1 = t1, t0 - q * t1
    return a, s0, t0

def solve_congruences(a1, n1, a2, n2):
    # Überprüfung, ob n1 und n2 teilerfremd sind
    gcd, s, t = extended_gcd(n1, n2)
    if gcd != 1:
        raise ValueError("n1 und n2 müssen teilerfremd sein")
    
    # Berechnung der Lösung
    x = (a1 * n2 * s + a2 * n1 * t) % (n1 * n2)
    return x

# Beispiele
a1, n1 = 1, 3
a2, n2 = 2, 5
x = solve_congruences(a1, n1, a2, n2)
print(f"Die Lösung ist x = {x}")

Testbeispiel und Vergleich mit Maple

Angenommen wir haben die simultanen Kongruenzen:
1. \(x \equiv 1 \mod 3\)
2. \(x \equiv 2 \mod 5\)

Das oben gegebene Python-Skript sollte \(x = 11\) als Lösung ausgeben, da \(11 \equiv 1 \mod 3\) und \(11 \equiv 2 \mod 5\).

Um dies mit Maple zu vergleichen, können Sie die chrem Funktion verwenden:

maple
x := chrem([1, 2], [3, 5]);
print(x);  # Sollte auch 11 ausgeben

In beiden Fällen demonstrieren wir die Anwendung des Chinesischen Restsatzes zur Lösung der gegebenen simultanen Kongruenzen und bestätigen die Endergebnisse, die übereinstimmen sollten.