Schreiben Sie ein Programm, welches bei Eingabe von c und einer natürlichen Zahl n ≥ 1

Question

Frage:

Wir betrachten die Funktion
f : [−1, 1] → R mit f(x) = e^cx

wobei c ∈ R eine Konstante ist.

(a) Schreiben Sie ein Programm, welches bei Eingabe von c und einer natürlichen Zahl n ≥ 1

• das Intervall [−1, 1] in n gleich lange Teilintervalle [xi−1, xi], 1 ≤ i ≤ n, zerlegt,
• die Funktionswerte yi = f(xi), 0 ≤ i ≤ n, berechnet und
• die Koeffizienten a0, a1, . . . , an des Interpolationspolynoms p(x)

vom Grad n durch die Punkte (xi, yi), 0 ≤ i ≤ n, durch Aufstellen und Lösen eines linearen Gleichungssystems numerisch berechnet.

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Interpolationspolynom mit Python berechnen

Für die gegebene Aufgabe müssen wir ein Programm schreiben, das verschiedene Schritte durchführt, um das Interpolationspolynom zu berechnen. Wir werden Python verwenden, um diese Aufgabe zu lösen, und die Bibliothek numpy für die mathematischen Berechnungen nutzen.

Folgend sind die notwendigen Schritte:

1. Zerlegung des Intervalls [−1, 1] in \(n\) Teilintervalle.
2. Berechnung der Funktionswerte \(y_i = f(x_i)\).
3. Aufstellen und Lösen des linearen Gleichungssystems zur Berechnung der Koeffizienten \(a_0, a_1, \ldots, a_n\) des Interpolationspolynoms.

Schritt 1 und 2: Intervallzerlegung und Funktionswertberechnung

Zu Beginn definieren wir die Funktion \(f(x) = e^{cx}\) und berechnen die \(x_i\) und \(y_i\) Werte.

python
import numpy as np

# Definition der Funktion f
def f(x, c):
    return np.exp(c*x)

# Zerlegung des Intervalls und Berechnung der Funktionswerte
def berechne_funktionswerte(c, n):
    x_values = np.linspace(-1, 1, n+1)  # Erzeugt n+1 Punkte zwischen -1 und 1, inklusive
    y_values = f(x_values, c)
    return x_values, y_values

Schritt 3: Berechnung der Koeffizienten des Interpolationspolynoms

Um das Interpolationspolynom zu berechnen, verwenden wir die Vandermode-Matrix, da sie eine einfache Struktur zur Berechnung von Interpolationspolynomen bietet.

python
# Berechnung der Koeffizienten des Interpolationspolynoms
def berechne_interpolationskoeffizienten(x_values, y_values):
    # Erzeugung der Vandermonde-Matrix
    n = len(x_values)
    V = np.vander(x_values, n, increasing=True)
    
    # Lösung des linearen Gleichungssystems V*a = y zur Bestimmung der Koeffizienten
    a = np.linalg.solve(V, y_values)
    return a

Zusammenführendes Programm

Nun kombinieren wir die Funktionen zu einem finalen Programm, das \(c\) und \(n\) als Eingabe nimmt und die Koeffizienten des Interpolationspolynoms ausgibt.

python
def interpolationspolynom(c, n):
    x_values, y_values = berechne_funktionswerte(c, n)
    koeffizienten = berechne_interpolationskoeffizienten(x_values, y_values)
    return koeffizienten

# Beispiel
c = 2  # Beispielwert für c
n = 5  # Beispielwert für n
koeffizienten = interpolationspolynom(c, n)
print("Koeffizienten des Interpolationspolynoms:", koeffizienten)

Dieser Code berechnet die Koeffizienten des Interpolationspolynoms für eine gegebene Konstante \(c\) und eine natürliche Zahl \(n\). Es ist wichtig zu beachten, dass dies eine sehr grundlegende Implementierung ist. Für große Werte von \(n\) oder für komplexere Probleme können andere numerische Verfahren effizienter sein.