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Beweis, dass \(L_1\) nicht kontextfrei ist
Um zu beweisen, dass \(L_1\) nicht kontextfrei ist, nutzen wir das Pumping-Lemma für kontextfreie Sprachen. Gemäß dem Pumping-Lemma existiert für jede kontextfreie Sprache \(L\) eine "Pump"-Zahl \(p\) (Pumping-Länge), so dass für jedes Wort \(z \in L\) mit \(|z| \geq p\) eine Aufteilung in fünf Teile \(z = uvwxy\) existiert, für die folgende Bedingungen erfüllt sind:
1. Für jedes \(i \geq 0\) ist \(uv^iwx^iy \in L\).
2. \(|vx| > 0\).
3. \(|vwx| \leq p\).
Für \(L_1\):
Lassen Sie uns ein spezifisches Wort \(z = a^p b^p c^p d^p\) betrachten, das offensichtlich zu \(L_1\) gehört. Gemäß dem Pumping-Lemma können wir \(z\) in fünf Teile \(uvwxy\) zerlegen, wobei \(vwx\) höchstens \(p\) Buchstaben lang ist.
Da \(vwx\) höchstens die Länge \(p\) hat, kann es Buchstaben aus höchstens zwei aufeinanderfolgenden Segmenten von \(z\) enthalten (z.B. nur \(a\)'s, nur \(b\)'s, \(a\)'s und \(b\)'s, usw.).
Wenn wir nun das Wort pumpen, indem wir \(i = 2\) setzen, um \(uv^2wx^2y\) zu erhalten, führt dies unweigerlich zu einer Verletzung der Eigenschaft \(a^i b^j c^i d^j\), da die Anzahl der Buchstaben in mindestens einem Block im Vergleich zu anderen Blöcken überproportional erhöht wird. Dieses Ergebnis widerspricht der Bedingung \(uv^iwx^iy \in L_1\) für alle \(i \geq 0\), was beweist, dass \(L_1\) nicht kontextfrei ist.
Beweis, dass \(L_2\) nicht kontextfrei ist
Um zu zeigen, dass \(L_2\) nicht kontextfrei ist, verwenden wir wiederum das Pumping-Lemma. Die Sprache \(L_2\) ist definiert als die Menge aller Wörter über \(\{a, b, c\}\), für die das Produkt der Anzahl der \(a\)'s und \(b\)'s gleich der Anzahl der \(c\)'s ist.
Wählen wir das Wort \(z = a^p b^p c^{p^2}\), welches offensichtlich in \(L_2\) liegt, da \(\#_a(z) = p\), \(\#_b(z) = p\) und somit \(\#_a(z) \cdot \#_b(z) = p^2 = \#_c(z)\).
Wenn wir \(z\) entsprechend dem Pumping-Lemma in \(uvwxy\) zerlegen, kann keine Zerlegung gefunden werden, die die erforderlichen Bedingungen erfüllt, da das Pumpen entweder die Anzahl der \(a\)'s oder \(b\)'s unabhängig von \(c\)'s erhöhen würde oder nur die Anzahl der \(c\)'s erhöhen würde, ohne die Produkte der Anzahlen von \(a\)'s und \(b\)'s zu beeinflussen. In beiden Fällen wäre das resultierende Wort nicht in \(L_2\).
Das bedeutet, dass das Pumping-Lemma nicht angewendet werden kann, ohne die spezifischen Eigenschaften von \(L_2\) zu verletzen, was nachweist, dass \(L_2\) nicht kontextfrei ist.
