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Sprache aus kontextfreier Grammatik erzeugen
Die Aufgabe besteht darin, eine kontextfreie Grammatik (CFG) anzugeben, die die Sprache \(L_1\) erzeugt. Diese Sprache ist definiert als \(L_1 = \{w \in \{a, b\}^* | N_a(w) = 2 \cdot N_b(w)\}\), was bedeutet, dass für jedes Wort \(w\) in \(L_1\), die Anzahl der 'a's in \(w\) doppelt so groß ist wie die Anzahl der 'b's.
Eine kontextfreie Grammatik ist durch ein 4-Tupel \(G=(V,\Sigma,R,S)\) definiert, wobei:
- \(V\) die Menge der Variablen (nicht-terminale Symbole),
- \(\Sigma\) das Alphabet (terminale Symbole),
- \(R\) die Menge der Produktionsregeln,
- \(S\) das Startsymbol.
Für die Sprache \(L_1\) könnten wir die Grammatik wie folgt definieren:
- \(V = \{S\}\),
- \(\Sigma = \{a, b\}\),
- \(R\) besteht aus den Regeln:
1. \(S \rightarrow aSaS | bS | \epsilon\),
- \(S\) ist das Startsymbol.
Diese Regeln ermöglichen es, die Bedingung zu erfüllen, dass für jede 'b' zwei 'a' produziert werden müssen, um das Gleichgewicht zu halten. Die Regel \(S \rightarrow \epsilon\) erlaubt das Ende der Produktion (d.h., das leere Wort ist akzeptabel, wenn man von einer ausgeglichenen Anzahl ausgeht).
Hier ist, wie die Produktion funktioniert:
- Für jedes 'b' in einem Wort muss es einen Rahmen aus 'aSaS' geben, dies stellt sicher, dass wir für jede 'b' doppelt so viele 'a' haben.
- Ein Wort kann mit einem 'b' enden oder direkt in \(\epsilon\) übergehen, wenn es ausbalanciert ist.
Diese Grammatik erlaubt das Erzeugen von Wörtern mit doppelt so vielen 'a's wie 'b's durch rekursives Wiedereinsetzen der Variablen \(S\) durch eine der rechten Seiten der Produktionsregeln, beginnend mit dem Startsymbol \(S\).
Diese CFG erzeugt also alle Wörter der gegebenen Sprache durch geeignete Kombinationen ihrer Produktionsregeln.
