Operationen auf Relationen : Monotonie und Identität beweisen

Question

Frage: Beweise Satz 3 & 4

Text erkannt:

Operationen auf Relationen: Relationenprodukt-Eigenschaften 2
Satz 3: (Monotonie)
Es seien \( M_{1}, M_{2}, M_{3} \) Mengen.
Es seien \( P, Q \subseteq M_{1} \times M_{2} \) und \( R, S \subseteq M_{2} \times M_{3} . \)
Dann gilt: \( (P \subseteq Q \wedge R \subseteq S) \Longrightarrow(P \circ R) \subseteq(Q \circ S) . \)\( \quad \Rightarrow \quad(x, y) \in P \quad(x, t) \in P_{0} R \)
Satz 4: (Identität)
Ist \( R \) eine Relation über der Menge \( M \), so ist: \( R=R \circ \Delta_{M}=\Delta_{M} \circ R \).
Die Beweise dieser beiden Sätze sind eine leichte Übungsaufgabe.
\( \begin{array}{l} \Delta_{m}:=\{(y, y) \mid \forall y \in M\} \\ R \subseteq M \times M=\{(x, y) \mid x, y \in M\} \end{array} \)

Answer 1

Seien \(P \subseteq Q\) und \(R\subseteq S\).

Sei \(a\in P \circ R\).

Seien \(m_1\in M_1\), \(m_2\in M_2\) und \(m_3\in M_3\) so dass \((m_1, m_2)\in P\) und \((m_2,m_3)\in R\) und \(a = (m_1, m_3)\) ist.

Dann ist \((m_1, m_2)\in Q\) und \((m_2,m_3)\in S\) , also \((m_1, m_2)\circ (m_2,m_3)\in Q\circ S\) und somit \(a\in Q\circ S\).