Antwort mit KI erzeugt
Okay, wir möchten den Potenzmengenautomaten (DFA) aus einem ε-NFA konstruieren. Dafür müssen wir die von Subset Construction (Potenzmengen-Konstruktion) genannten Schritte befolgen und insbesondere den ε-Übergang beachten.
Gegeben:
Ein ε-NFA über dem Alphabet \(\{a, b\}\). Die Zustände sind \(Q = \{1, 2, 3, 4, 5\}\) und der Startzustand ist Zustand \(1\). Die akzeptierenden Zustände sind \( F = \{5\} \).
Schritte zur Konstruktion des DFA aus dem gegebenen ε-NFA:
1.
ε-Closure berechnen:
Für jeden Zustand des ε-NFA berechnen wir die Menge der Zustände, die per beliebig vielen ε-Übergängen erreicht werden können.
- ε-Closure(1) = {1, 2, 4}
- ε-Closure(2) = {2}
- ε-Closure(3) = {3, 4}
- ε-Closure(4) = {4}
- ε-Closure(5) = {5, 2}
2.
Startzustand berechnen:
Der Startzustand des DFA entspricht der ε-Closure des Startzustands des ε-NFA.
- Startzustand DFA = ε-Closure(1) = \{1, 2, 4\}
3.
Zustandsübergänge berechnen:
Wir müssen die Übergänge für jede Kombination von Zuständen in den jeweiligen Gruppen berechnen.
- Von ε-Closure(1) = \{1, 2, 4\} auf das Symbol 'a':
- Zustand 1 geht mit 'a' zu 2.
- Zustand 2 geht mit 'a' zu keinem Zustand.
- Zustand 4 geht mit 'a' zu keinem Zustand.
ε-Closure(2) = {2}, also ergibt dies \{2\}.
Von \{2\} wenden wir ε-Closure an:
- ε-Closure(2) = \{2\}
- Von ε-Closure(1) = \{1, 2, 4\} auf das Symbol 'b':
- Zustand 1 geht mit 'b' zu 3.
- Zustand 2 geht mit 'b' zu 5.
- Zustand 4 geht mit 'b' zu 5.
ε-Closure(3) = {3, 4}, ε-Closure(5) = {5, 2}.
Die Vereinigungsmenge ergibt {2, 3, 4, 5}.
Jetzt ε-Closure von \{2, 3, 4, 5\}:
- ε-Closure (2) = \{2\}
- ε-Closure (3) = \{3, 4\}
- ε-Closure (4) = \{4\}
- ε-Closure (5) = \{5, 2\}
Zusammengerechnet ergibt das \{2, 3, 4, 5\}.
Daher sieht die Übergangstabelle dann so aus:
\(
\begin{array}{c|c|c}
\text{Zustand des DFA} & a & b \\
\hline
\{1, 2, 4\} & \{2\} & \{2, 3, 4, 5\} \\
\{2\} & \text{leere Menge} & \{5, 2\} \\
\{2, 3, 4, 5\} & \{2\}& \{2, 3, 4, 5\} \\
\end{array}
\)
4.
Akzeptierende Zustände bestimmen:
Ein Zustand im DFA ist akzeptierend, wenn er einen akzeptierenden Zustand des NFA enthält.
Da der akzeptierende Zustand im NFA \(5\) ist, so sind alle DFA-Zustände, die die \(5\) enthalten, akzeptierend:
- \{2, 3, 4, 5\}, {5, 2}.
Ergebnis
Der resultierende DFA hat die Zustände \(\{1, 2, 4\}\), \(\{2\}\), und \(\{2, 3, 4, 5\}\) mit den entsprechenden Übergängen und akzeptierenden Zuständen:
Startzustand:
\(\{1, 2, 4\}\)
Akzeptierende Zustände:
\(\{2, 3, 4, 5\}\), {5, 2}.
So, dies illustriert die vollständige Durchführung der Subset Construction algorithm, die einen DFA aus einem ε-NFA erzielt.
