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Aufgabenstellung verstehen
Um die Rekurrenzgleichung \(T(n)\) zu analysieren, definieren wir die allgemeine Form einer solchen Rekurrenz auf Basis der Frage:
\( T(n)= \begin{cases}
\Theta(1) & \text{wenn } n=1 \\
a \cdot T\left(\frac{n}{b}\right) + \Theta\left(n^c \log n\right) & \text{wenn } n > 1
\end{cases} \)
Die gegebene Rekurrenz ist:
\( T(n)= \begin{cases}
1 & n=1 \\
4 \cdot T\left(\frac{n}{3}\right) + n^2 \log n & \text{sonst}
\end{cases} \)
Wir identifizieren die Parameter:
- \( a = 4 \)
- \( b = 3 \)
- Das zusätzliche Term ist \( \Theta(n^2 \log n) \), kein einfaches \( n^c \). Daher müssen wir es etwas anpassen, um es in unsere Formel zu integrieren.
Bestimmen der Knotenzahl auf Lage \(i\)
Die Anzahl der Knoten auf Lage \(i\) wird durch \(4^i\) beschrieben, da in jeder Rekursionsstufe die Anzahl der neuen Teilprobleme vervierfacht wird.
Bestimmen des Werts von \(n\) auf Lage \(i\)
In jeder Rekursionsstufe wird \(n\) durch \(3\) geteilt. Somit ist \(n\) auf Lage \(i\):
\( \frac{n}{3^i} \)
Berechnung der Zeitkosten eines Knotens in Lage \(i\)
Die Laufzeit an einem Knoten in der \(i\)-ten Lage wird durch \( \Theta\left(n^2 \log n\right) \), skaliert auf die Größe dieses Unterproblems, bestimmt:
\( \left(\frac{n}{3^i}\right)^2 \log\left(\frac{n}{3^i}\right) \)
Generelle Strategie zur Lösung
Der Begriff, den wir analysieren, kombiniert sowohl die rekursive Teilung als auch die Zeitkomplexität \(n^2 \log n\). Beachten Sie, dass diese Analyse die Verallgemeinerung durch den Mastertheorem ersetzen muss, da der (\log n)-Faktor berücksichtigt werden muss.
Kombination der Erkenntnisse
Nun, um diese Erkenntnisse zu kombinieren:
1.
Wie viele Knoten sind auf Lage \(i\)?
\( 4^i \)
2.
Wie groß ist das \(n\) auf Lage \(i\)?
\( \frac{n}{3^i} \)
3.
Wie viel Zeit kostet ein Knoten in Lage \(i\)?
\( \left(\frac{n}{3^i}\right)^2 \log\left(\frac{n}{3^i}\right) \)
Validierung der Funktionsweise
Lassen Sie uns dies einfacher Weise validieren, indem wir die gesamtheitliche Laufzeit betrachten und aufaddieren.
Summieren der Kosten über alle Rekursionstiefe \(i\):
\( \sum_{i=0}^{\log_3 n} \left( 4^i \cdot \left(\frac{n}{3^i}\right)^2 \log\left(\frac{n}{3^i}\right) \right) \)
Vereinfachung des Ausdrucks:
\( \sum_{i=0}^{\log_3 n} 4^i \cdot \frac{n^2}{9^i} \cdot \log\left(\frac{n}{3^i}\right) \)
Da \( 4^i = (2^i)^2 \) und \( 9^i = (3^i)^2 \):
\( \sum_{i=0}^{\log_3 n} \left( \frac{2^{2i} n^2 \log n - 2^{2i} n^2 \log(3^i)}{3^{2i}} \right) \)
\( \sum_{i=0}^{\log_3 n} \left( \frac{1}{(3^2)^i} \cdot n^2 \cdot \log(\frac{n}{3^i}) \right) \)
Diese Summenformel kann für konforme Verhältnisse durch ungefähr:
Die Summenheiten
\( n^2 \log n \sum_{i=0}^{\log_3 n} \left( \frac{4}{9} \right)^i \)
Für eine endliche arithmetische Reihe ergibt sich das als O(n^2 log^2 n).
Ergebnis
Somit ergibt sich für die gegebene Rekurrenz:
\( T(n) = O(n^2 \log^2 n). \)
Dies kombiniert, berücksichtigt sowohl die Verkleinerung des Forms \(O(n^2 \log n)\).
