Bestimmen Sie die Sprache L = {w ∈ Σ9 | Aw ist ein Zauberquadrat}.

Question

Aufgabe Zauberquadrat:

Über dem Alphabet Σ = {1, 2, 3} betrachten wir Wörter w ∈ Σ9. Ein Wort w = w1w2 . . . w9 kodiert die Anordnung der Zahlen von 1 bis 3 in einer 3 × 3 wie folgt:

Aw = \( \begin{pmatrix} w1 & w2 & w3 \\ w4 & w5 & w6 \\ w7 & w8 & w9 \end{pmatrix} \)

Eine Matrix Aw heißt Zauberquadrat, wenn in allen Zeilen, allen Spalten und allen Diagonalen sich als Summe 6 ergibt. Bestimmen Sie die Sprache

L = {w ∈ Σ9 | Aw ist ein Zauberquadrat}.

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Um zu bestimmen, welche Wörter \( w \in \Sigma^9 \) die Sprache \( L \) bilden, müssen wir überprüfen, ob die durch \( w \) kodierte 3×3-Matrix \( A_w \) ein Zauberquadrat ist. Ein Zauberquadrat der Ordnung 3 hat die Eigenschaft, dass die Summen aller Zeilen, Spalten und Diagonalen gleich sind. Da die Werte in \( w \) auf {1, 2, 3} begrenzt sind und es 9 Einträge gibt, muss diese Summe gleich 6 sein.

Um das Ziel zu erreichen, folgen wir diesen Schritten:

1. Matrixdarstellung

Ein Wort \( w = w_1 w_2 \ldots w_9 \) kodiert die Matrix

\( A_w = \begin{pmatrix} w_1 & w_2 & w_3 \\ w_4 & w_5 & w_6 \\ w_7 & w_8 & w_9 \end{pmatrix} \)

2. Summen der Zeilen, Spalten und Diagonalen überprüfen

Ein Zauberquadrat der Ordnung 3 hat die Summen:

\( w_1 + w_2 + w_3 = 6 \)
\( w_4 + w_5 + w_6 = 6 \)
\( w_7 + w_8 + w_9 = 6 \)
\( w_1 + w_4 + w_7 = 6 \)
\( w_2 + w_5 + w_8 = 6 \)
\( w_3 + w_6 + w_9 = 6 \)
\( w_1 + w_5 + w_9 = 6 \)
\( w_3 + w_5 + w_7 = 6 \)

3. Generieren der Sprache \( L \)

Ein Wort \( w \) gehört zur Sprache \( L \), wenn jede der obigen Summen 6 ergibt.

Hier ist ein Python-Programm, das die Sprache \( L \) bestimmen kann:

python
def is_magic_square(w):
    if len(w) != 9:
        return False
    
    # Umrechnung in die Matrixform
    A_w = [
        [int(w[0]), int(w[1]), int(w[2])],
        [int(w[3]), int(w[4]), int(w[5])],
        [int(w[6]), int(w[7]), int(w[8])]
    ]
    
    sums = [
        sum(A_w[0]),  # Zeile 1
        sum(A_w[1]),  # Zeile 2
        sum(A_w[2]),  # Zeile 3
        A_w[0][0] + A_w[1][0] + A_w[2][0],  # Spalte 1
        A_w[0][1] + A_w[1][1] + A_w[2][1],  # Spalte 2
        A_w[0][2] + A_w[1][2] + A_w[2][2],  # Spalte 3
        A_w[0][0] + A_w[1][1] + A_w[2][2],  # Diagonal 1
        A_w[0][2] + A_w[1][1] + A_w[2][0]   # Diagonal 2
    ]
    
    return all(s == 6 for s in sums)

def generate_L():
    from itertools import product
    alphabet = ['1', '2', '3']
    L = set()
    
    for w in product(alphabet, repeat=9):
        w_str = ''.join(w)
        if is_magic_square(w_str):
            L.add(w_str)
    
    return L

# Bestimme die Sprache L
L = generate_L()
print("Die Sprache L besteht aus folgenden Wörtern:")
for w in L:
    print(w)

Fazit

Die oben beschriebene Methode stellt sicher, dass die erzeugten Wörter tatsächlich 3x3-Zauberquadrate darstellen. Die Funktion generate_L erzeugt alle möglichen Wörter der Sprache \( L \) und druckt diese aus. Jedes Wort in der Sprache \( L \) entspricht einem Zauberquadrat mit der geforderten Eigenschaft, dass alle Zeilen, Spalten und Diagonalen die Summe 6 haben.