Antwort mit KI erzeugt
1. Akzeptierende Berechnung von \( \mathcal{A} \) bei Eingabe \( aacbbccabbbb \)
Um die akzeptierende Berechnung aufzuzeigen, analysieren wir Schritt für Schritt, wie der Kellerautomat \( \mathcal{A} \) mit der gegebenen Eingabe arbeitet und dabei den Kellerzustand verändert, bis der Keller leer und die Eingabe vollständig gelesen ist.
Gegeben:
- Eingabealphabet: \( \Sigma = \{a, b, c\} \)
- Kelleralphabet: \( \Gamma = \{A, B, \#\} \)
- Initiales Kellersymbol: \(\#\)
Berechnungsschritte:
1.
Initialzustand:
\(
(q_0, \epsilon, \#)
\)
2.
Lesen: \(a\):
\(
(q_0, a, \#) \to (q_1, \epsilon, A\#)
\)
Neuer Zustand: \( q_1 \), Keller: \( A\# \)
3.
Lesen: \(a\):
\(
(q_1, a, A) \to (q_1, \epsilon, AA)
\)
Neuer Zustand: \( q_1 \), Keller: \( AA\# \)
4.
Lesen: \(c\):
\(
(q_1, c, A) \to (q_2, \epsilon, A)
\)
Neuer Zustand: \( q_2 \), Keller: \( A\# \)
5.
Lesen: \(b\):
\(
(q_2, b, A) \to (q_2, \epsilon, \epsilon)
\)
Neuer Zustand: \( q_2 \), Keller: \( \# \)
6.
Lesen: \(b\):
\(
(q_2, b, \#) \to (q_2, \epsilon, \epsilon)
\)
Neuer Zustand: \( q_2 \), Keller: \( \# \)
7.
Lesen: \(c\):
\(
(q_2, c, \#) \to (q_2, \epsilon, \epsilon)
\)
Neuer Zustand: \( q_2 \), Keller: \( \# \)
8.
Lesen: \(c\):
\(
(q_2, c, \#) \to (q_2, \epsilon, \epsilon)
\)
Neuer Zustand: \( q_2 \), Keller: \( \# \)
9.
Lesen: \(a\):
\(
(q_2, a, \#) \to (q_1, \epsilon, A\#)
\)
Neuer Zustand: \( q_1 \), Keller: \( A\# \)
10.
Lesen: \(b\):
\(
(q_1, b, A) \to (q_2, \epsilon, \epsilon)
\)
Neuer Zustand: \( q_2 \), Keller: \( \# \)
11.
Lesen: \(b\):
\(
(q_2, b, \#) \to (q_2, \epsilon, \epsilon)
\)
Neuer Zustand: \( q_2 \), Keller: \( \# \)
12.
Lesen: \(b\):
\(
(q_2, b, \#) \to (q_2, \epsilon, \epsilon)
\)
Neuer Zustand: \( q_2 \), Keller: \( \# \)
13.
Lesen: \(b\):
\(
(q_2, b, \#) \to (q_2, \epsilon, \epsilon)
\)
Neuer Zustand: \( q_2 \), Keller: \( \# \)
Die Eingabe ist vollständig verarbeitet, und der Keller ist leer. Damit wurde die Eingabe akzeptiert.
2. Sprache, die vom Automaten \( \mathcal{A} \) entschieden wird
Der Kellerautomat \( \mathcal{A} \) akzeptiert die Sprache \( L = \{a^n c b^n \mid n \geq 1\} \).
Begründung:
-
Zustand \( q_0 \): Initialer Zustand, in dem das initiale Kellersymbol \# gepusht wird während das erste \(a\) gelesen wird.
-
Zustand \( q_1 \): Hier werden alle \(a\) gelesen und für jedes \(a\) wird ein \(A\) auf den Keller gestapelt.
-
Zustand \( q_2 \): Nachdem das \(c\) gelesen wurde (Zustandsübergang von \( q_1 \) nach \( q_2 \)), hier für jeden Buchstaben \(b\) wird ein \(A\) vom Keller entfernt, bis der Keller leer ist.
-
Übergänge und Kellerinhalte:
- Jeder \(a\) fügt ein \(A\) zum Keller hinzu im Zustand \( q_1 \).
- Ein \(c\) sorgt für den Übergang von \(q_1\) nach \(q_2\), wobei ein \(A\) weggenommen wird, falls vorhanden.
- Jeder \(b\) entfernt ein \(A\) vom Keller im Zustand \( q_2 \).
- Die Eingabe wird genau dann akzeptiert, wenn nach der Verarbeitung aller Zeichen der Keller leer ist und der Automat sich im Zustand \( q_2 \) befindet.
Somit akzeptiert der Automat die Sprache \(\{a^n c b^n \mid n \geq 1\}\).
