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Bestimmen der Wahrheitstabelle für den logischen Ausdruck
Aufgabe 1:
1. Bestimmen Sie die Wahrheitstabelle für den logischen Ausdruck:
\( (p \vee \neg q) \wedge \neg p \)
Die Wahrheitstabelle wird durch Berechnung aller möglichen Kombinationen von Wahrheitswerten für \(p\) und \(q\) erstellt.
| \(p\) | \(q\) | \(\neg q\) | \(p \vee \neg q\) | \(\neg p\) | \((p \vee \neg q) \wedge \neg p\) |
|------|------|-------------|------------------|-----------|-----------------------------------|
| T | T | F | T | F | F |
| T | F | T | T | F | F |
| F | T | F | F | T | F |
| F | F | T | T | T | T |
2. Aufgabe 2:
Gegeben ist die Aussage „zu jedem \(a \in A\) existiert höchstens ein \(b \in B\), so dass \(a R b\) (a ist in Relation zu b)“. Diese können wir unterschiedlich durch logische Formeln ausdrücken.
(i) Zeigen Sie, dass (b) \(\Leftrightarrow\) (a).
Originalaussagen:
(a) \(\forall a \in A \quad \forall b_{1}, b_{2} \in B \quad(a R b_{1} \wedge a R b_{2}) \Rightarrow b_{1}=b_{2}\)
(b) \(\forall a \in A \quad \forall b_{1}, b_{2} \in B \quad b_{1} \neq b_{2} \Rightarrow (\neg a R b_{1} \vee \neg a R b_{2})\)
Beweis:
1. \( p \Rightarrow q \equiv \neg p \vee q\)
2. Das Umformen der (a) Formel:
\( \forall a \in A \quad \forall b_{1}, b_{2} \in B \quad(a R b_{1} \wedge a R b_{2}) \Rightarrow b_{1}=b_{2} \equiv \forall a \in A \quad \forall b_{1}, b_{2} \in B \quad \neg(a R b_{1} \wedge a R b_{2}) \vee b_{1}=b_{2} \)
3. \(\neg(a R b_{1} \wedge a R b_{2}) \equiv \neg a R b_{1} \vee \neg a R b_{2}\).
Also:
\( \forall a \in A \quad \forall b_{1}, b_{2} \in B \quad (\neg a R b_{1} \vee \neg a R b_{2}) \vee b_{1}=b_{2} \)
Dies ist genau das gleiche wie (b), daher:
\( \forall a \in A \quad \forall b_{1}, b_{2} \in B \quad b_{1} \neq b_{2} \Rightarrow (\neg a R b_{1} \vee \neg a R b_{2}) \)
(ii) Zeigen Sie, dass (c) \(\Leftrightarrow\) (a).
Originalaussage:
(c) \(\neg \exists a \in A \quad \exists b_{1}, b_{2} \in B \quad(b_{1} \neq b_{2} w \quad (a R b_{1} w \quad a R b_{2}))\)
Beweis:
1. Doppeltes Negieren:
\( \neg \exists a \in A \quad \exists b_{1}, b_{2} \in B \quad (b_{1} \neq b_{2} w \quad (a R b_{1} w \quad a R b_{2})) \equiv \forall a \in A \quad \neg \exists b_{1}, b_{2} \in B \quad (b_{1} \neq b_{2} w \quad (a R b_{1} w \quad a R b_{2})) \)
2. Umformen der negierten Existenzial-Quantoren:
\( \forall a \in A \quad \forall b_{1}, b_{2} \in B \quad \neg(b_{1} \neq b_{2} w \quad (a R b_{1} w \quad a R b_{2})) \equiv \forall a \in A \quad \forall b_{1}, b_{2} \in B \quad ((b_{1}=b_{2}) \vee \quad \neg(a R b_{1} w \quad a R b_{2})) \)
3. \( (a R b_{1} w \quad a R b_{2}) \Rightarrow (b_{1}=b_{2}) \)
Daher ist:
\( \neg \exists a \in A \quad \exists b_{1}, b_{2} \in B \quad (b_{1} \neq b_{2} w \quad (a R b_{1} w \quad a R b_{2})) \Leftrightarrow \forall a \in A \quad \forall b_{1}, b_{2} \in B \quad (a R b_{1} w \quad a R b_{2}) \Rightarrow b_{1}=b_{2}) \)
(iii) Übersetzen Sie Formel (c) wieder in natürliche Sprache.
Die Formel (c) \(\neg \exists a \in A \quad \exists b_{1}, b_{2} \in B \quad (b_{1} \neq b_{2} w \quad \quad (a R b_{1} w \quad a R b_{2}))\) besagt:
„Es existiert kein Element \( a \in A \) und keine zwei unterschiedlichen Elemente \( b_{1}, b_{2} \in B \) gleichzeitig so, dass sowohl \( a R b_{1} \) als auch \( a R b_{2} \) wahr ist.“
Aufgabe 3:
Bestimmen Sie die Kardinalität folgender Mengen sowie die Potenzmenge und deren Kardinalität:
(a) \( A=\{2,7,8\} \)
- Kardinalität von \(A\): \( |A| = 3 \)
- Potenzmenge von \(A\): \( \mathcal{P}(A) = \{\emptyset, \{2\}, \{7\}, \{8\}, \{2,7\}, \{2,8\}, \{7,8\}, \{2,7,8\}\} \)
- Kardinalität der Potenzmenge: \( |\mathcal{P}(A)| = 2^{|A|} = 2^3 = 8 \)
(b) \( B=\{0,\{2,8\}\} \)
- Kardinalität von \(B\): \( |B| = 2 \)
- Potenzmenge von \(B\): \( \mathcal{P}(B) = \{\emptyset, \{0\}, \{\{2,8\}\}, \{0,\{2,8\}\} \} \)
- Kardinalität der Potenzmenge: \( |\mathcal{P}(B)| = 2^{|B|}= 2^2 = 4 \)
(c) \( C=\{\{\emptyset\}\} \)
- Kardinalität von \(C\): \( |C| = 1 \)
- Potenzmenge von \(C\): \( \mathcal{P}(C) = \{\emptyset, \{\{\emptyset\}\}\} \)
- Kardinalität der Potenzmenge: \( |\mathcal{P}(C)| = 2^{|C|} = 2^1 = 2 \)
(d) \( D=\{1,\{1\}\} \)
- Kardinalität von \(D\): \( |D| = 2 \)
- Potenzmenge von \(D\): \( \mathcal{P}(D) = \{\emptyset, \{1\}, \{\{1\}\}, \{1,\{1\}\} \} \)
- Kardinalität der Potenzmenge: \( |\mathcal{P}(D)| = 2^{|D|} = 2^2 = 4 \)
(e) \( E=\{\} \)
- Kardinalität von \(E\): \( |E| = 0 \)
- Potenzmenge von \(E\): \( \mathcal{P}(E) = \{\emptyset\} \)
- Kardinalität der Potenzmenge: \( |\mathcal{P}(E)| = 2^{|E|} = 2^0 = 1 \)
