Akzeptanz durch Endzustände. Zeigen Sie: T(M1) = T(M2).

Question

Aufgabe 1: Akzeptanz durch Endzustände (schriftlich)

In der Vorlesung wurden PDA's als 6 -Tupel \( \left(Z, \Sigma, \Gamma, \delta, z_{0}, \#\right) \) eingeführt, mit der Akzeptierung durch leeren Keller. Wir können ein solches 6-Tupel nun auch als 7Tupel betrachten, bei welchem die letzte Komponente die leere Menge ist. Diese letzte Komponente bezeichnen wir im Folgenden als die Menge der Endzustände und definieren einen PDA, welcher durch Erreichen eines Endzustandes akzeptiert, wie folgt:
Wir setzen nun \( \tilde{M}=\left(Z, \Sigma, \Gamma, \delta, z_{0}, \#, F\right) \), wobei mit \( F \subseteq Z \) die Menge der Endzustände bezeichnet wird. Der Automat \( M \) arbeitet auf \( Z \times \Sigma^{*} \times \Gamma^{*} \) genau gleich wie \( M \). Die von \( \tilde{M} \) durch Erreichen eines Endzustandes akzeptierte Sprache ist nun wie folgt definiert:
\( T(\tilde{M})=\left\{w \in \Sigma^{*} \mid \exists z \in F, V \in \Gamma^{*} \text { mit }\left(z_{0}, w, \#\right) \vdash_{\bar{M}}^{*}(z, \varepsilon, V)\right\} \)

Wir zeigen in dieser Aufgabe, dass die Menge der durch einen PDA mittels leerem Keller akzeptierten Sprachen genau gleich der Menge der durch einen PDA mittels Erreichen eines Endzustandes akzeptierten Sprachen ist.
(a) Sei \( M_{1}=\left(Z, \Sigma, \Gamma, \delta, z_{0}, \#, F\right) \) ein PDA mit \( F \neq \emptyset \), welcher durch Erreichen eines Endzustandes akzeptiert. Betrachten Sie den folgenden PDA
\( M_{2}=\left(Z \cup\left\{z_{0}^{\prime}, z_{e}\right\}, \Sigma, \Gamma \cup\{\Delta\}, \delta^{\prime}, z_{0}^{\prime}, \Delta, \emptyset\right) \)
mit \( \Delta \notin \Gamma \) und
(1) \( \delta^{\prime}\left(z_{0}^{\prime}, \varepsilon, \Delta\right)=\left\{\left(z_{0}, \# \Delta\right)\right\} \)
(2) \( \forall z \in Z, a \in \Sigma \cup\{\varepsilon\}, \forall A \in \Gamma: \delta(z, a, A)=\delta^{\prime}(z, a, A) \)
(3) \( \forall z \in F, A \in \Gamma \cup\{\Delta\}:\left(z_{e}, \varepsilon\right) \in \delta^{\prime}(z, \varepsilon, A) \)
(4) \( \forall A \in \Gamma \cup\{\Delta\}:\left(z_{e}, \varepsilon\right) \in \delta^{\prime}\left(z_{e}, \varepsilon, A\right) \)

Der Automat \( M_{2} \) akzeptiere bei leerem Keller. Zeigen Sie: \( T\left(M_{1}\right)=T\left(M_{2}\right) \).

(b) Sei \( M_{1}=\left(Z, \Sigma, \Gamma, \delta, z_{0}, \#, \emptyset\right) \) ein PDA mit Akzeptierung durch leeren Keller. Betrachten Sie den PDA
\( M_{2}=\left(Z \cup\left\{z_{0}^{\prime}, z_{f}\right\}, \Sigma, \Gamma \cup\{\Delta\}, \delta^{\prime}, z_{0}^{\prime}, \Delta,\left\{z_{f}\right\}\right) \)
mit \( \Delta \notin \Gamma \) und ...

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Akzeptanz durch Endzustände

Um die Gleichheit \(T(M_{1}) = T(M_{2})\) zu zeigen, betrachten wir die beiden Teilaufgaben (a) und (b) separat.

Teil (a)

Für \(M_{1}\) als einen PDA, der durch das Erreichen eines Endzustandes akzeptiert wird, und für \(M_{2}\), der durch einen leeren Keller akzeptiert wird, gilt es zu zeigen, dass \(T(M_{1}) = T(M_{2})\).

\(M_{1}\) ist gegeben als \(M_{1}=\left(Z, \Sigma, \Gamma, \delta, z_{0}, \#, F\right)\), wobei \(F\) die Menge der akzeptierenden Endzustände ist.

\(M_{2}\) wird konstruiert als \(M_{2}=\left(Z \cup\left\{z_{0}^{\prime}, z_{e}\right\}, \Sigma, \Gamma \cup\{\Delta\}, \delta^{\prime}, z_{0}^{\prime}, \Delta, \emptyset\right)\), mit speziellen Regeln, wie in der Frage definiert.

Um zu zeigen, dass \(T(M_{1}) = T(M_{2})\), gehen wir schrittweise vor:

1. Initialisierung: Durch die Regel (1) wird der ursprüngliche Anfangszustand von \(M_{1}\) mit dem neuen Anfangszustand \(z_{0}^{\prime}\) in \(M_{2}\) verbunden, gleichzeitig wird ein neues Symbol \(\Delta\) auf den Keller gelegt. Dies bereitet den PDA für die Simulation von \(M_{1}\) vor, ohne den Inhalt des Kellers zu beeinträchtigen.

2. Simulation: Die Regeln in (2) gewährleisten, dass \(M_{2}\) jeden Schritt von \(M_{1}\) simuliert, indem es genau dieselben Übergänge für Zustände in \(Z\) und Eingaben in \(\Sigma \cup \{\varepsilon\}\) verwendet. Daher verarbeitet \(M_{2}\) jede Eingabe genauso wie \(M_{1}\), bis ein Endzustand in \(F\) potenziell erreicht wird.

3. Akzeptierung durch leeren Keller: Wenn \(M_{1}\) einen Endzustand erreicht (Teil der Menge \(F\)), erlauben die Regeln in (3) und (4) es \(M_{2}\), zu einem speziellen Zustand \(z_{e}\) zu wechseln und den Keller zu leeren, unabhängig von dessen aktuellem Inhalt. Dies wird erreicht, indem für jeden Übergang zu \(z_{e}\) das oberste Symbol entfernt wird, bis der Keller leer ist.

4. Äquivalenz der Akzeptanz: Jede Eingabe, die von \(M_{1}\) akzeptiert wird, erreicht einen Endzustand in \(F\), was \(M_{2}\) dazu veranlasst, seinen Keller zu leeren und die Eingabe ebenso zu akzeptieren. Umgekehrt wird jede Eingabe, die von \(M_{2}\) durch einen leeren Keller akzeptiert wird, so verarbeitet, dass sie einem Akzeptierzustand in \(F\) in \(M_{1}\) entspricht. Somit wird gezeigt, dass jede von \(M_{1}\) akzeptierte Eingabe auch von \(M_{2}\) akzeptiert wird und umgekehrt, folglich \(T(M_{1}) = T(M_{2})\).

Teil (b)

In Teil (b) wird ein ähnlicher Ansatz benötigt, allerdings mit umgekehrten Akzeptanzkriterien und einer leichten Modifikation der PDA-Konstruktion sowie der Übergangsregeln. Die grundlegende Idee ist jedoch kongruent, indem eine gegenseitige Simulation der Verhaltensweisen von \(M_{1}\) und \(M_{2}\) etabliert wird, um zu zeigen, dass die Sprachen, die sie erkennen können (d.h. \(T(M_{1})\) und \(T(M_{2})\)), identisch sind. Da der Detailgrad der Fragestellung für Teil (b) unvollständig bleibt, folgt dasselbe Grundschema der Argumentation wie in Teil (a), nur mit den entsprechenden Anpassungen für die Unterscheidung zwischen Akzeptierung durch einen leeren Keller versus Akzeptierung durch das Erreichen eines speziellen Endzustands.