CNF Verfahren #Grammatik

Question

Aufgabe:

Wandeln Sie die Grammatik \( G=(\{S, A, B, C, E\},\{a, b\}, R, S) \) mit

\( R=\{S \rightarrow S B|a b, A \rightarrow a B a| C, B \rightarrow b B A, C \rightarrow b A|\varepsilon, E \rightarrow A E| \varepsilon\} \)

in eine äquivalente Grammatik \( G^{\prime} \) in CNF um.

Wenden Sie schrittweise das Verfahren aus der Vorlesung an (geben Sie also auch alle Zwischenschritte an!).

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Einführung

Eine Grammatik \(G = (V, \Sigma, R, S)\) ist in Chomsky-Normalform (CNF), wenn jede Produktionsregel einer der folgenden Formen entspricht:
1. \(A \rightarrow BC\) (wobei \(A, B, C \in V\) und \(B\) und \(C\) keine Terminale sind, \(A, B, C \neq S\))
2. \(A \rightarrow a\) (wobei \(A \in V\) und \(a \in \Sigma\))
3. \(S \rightarrow \varepsilon\), falls \(\varepsilon\) Teil der Sprache ist und \(S\) das Startsymbol ist.

Starten wir nun mit der Umwandlung der gegebenen Grammatik in Chomsky-Normalform.

Gegebene Grammatik
- Nichtterminalsymbole: \( \{S, A, B, C, E\} \)
- Terminalsymbole: \( \{a, b\} \)
- Produktionsregeln:
\( \begin{aligned} &S \rightarrow S B \mid a b \\ &A \rightarrow a B a \mid C \\ &B \rightarrow b B A \\ &C \rightarrow b A \mid \varepsilon \\ &E \rightarrow A E \mid \varepsilon \end{aligned} \)
- Startsymbol: \(S\)

Schritt 1: Entfernen von \(\varepsilon\)-Produktionen

Identifizieren Sie zuerst die \(\varepsilon\)-Produktionen und Nichtterminalsymbole, die \(\varepsilon\) ableiten können:
- \(C \rightarrow \varepsilon\)
- \(E \rightarrow \varepsilon\)

Zusätzlich betrachten wir Produktionsregeln, die diese Nichtterminalsymbole enthalten. Für jede Regel muss eine neue Regel ohne das \(\varepsilon\)-ableitende Symbol erstellt werden.

Für \(C \rightarrow \varepsilon\):
- \(A \rightarrow a B a \mid C\) wird zu \(A \rightarrow a B a \mid C \mid \varepsilon\)
- \(B \rightarrow b B A\) wird zu \(B \rightarrow b B A \mid b B\)

Für \(E \rightarrow \varepsilon\):
- \(E \rightarrow A E\) wird zu \(E \rightarrow A E \mid A\)

Die geänderten Regeln sind nun:
\( \begin{aligned} &S \rightarrow S B \mid a b \\ &A \rightarrow a B a \mid C \mid \varepsilon\\ &B \rightarrow b B A \mid b B \\ &C \rightarrow b A \\ &E \rightarrow A E \mid A \mid \varepsilon \end{aligned} \)

Schritt 2: Entfernen von Unit-Produktionen

Unit-Produktionen sind Regeln der Form \(A \rightarrow B\), wobei \(A\) und \(B\) Nichtterminalsymbole sind:
- \(A \rightarrow C\)
- \(E \rightarrow A\)

Ersetzen der rechten Seite durch die Regeln von \(C\):
- \(A \rightarrow C\) wird zu \(A \rightarrow b A \mid \varepsilon\)

Ersetzen der rechten Seite durch die Regeln von \(A\):
- \(E \rightarrow A\) wird zu \(E \rightarrow a B a \mid C \mid \varepsilon\)

Die aktualisierten Regeln sind:
\( \begin{aligned} &S \rightarrow S B \mid a b \\ &A \rightarrow a B a \mid b A \mid \varepsilon\\ &B \rightarrow b B A \mid b B \\ &C \rightarrow b A \\ &E \rightarrow a B a \mid b A \mid \varepsilon \mid A E \mid A \end{aligned} \)

Schritt 3: Entfernen der Regel \(S \rightarrow S B\)

Das wird durch Erzeugen eines neuen Startsymbols erreicht:
- Füge ein neues Startsymbol \(S_0\) ein: \(S_0 \rightarrow S\)
- Aktualisierte Produktionsregeln sind:
\( \begin{aligned} &S_0 \rightarrow S \\ &S \rightarrow S B \mid a b \\ &A \rightarrow a B a \mid b A \mid \varepsilon\\ &B \rightarrow b B A \mid b B \\ &C \rightarrow b A \\ &E \rightarrow a B a \mid b A \mid \varepsilon \mid A E \mid A \end{aligned} \)

Schritt 4: Umwandlung in zwei-Variablen-Regeln

Jede Produktion, die mehr als zwei Nicht-Terminals oder eine Mischung aus Terminalen und Nicht-Terminals enthält, sollte in CNF zwei-Variablen-Regel umgewandelt werden.

Zuerst ersetzen wir alle Terminatoren mit neuen Nichtterminalen:
\( A_a \rightarrow a, \quad B_b \rightarrow b \)

Ändern der Regeln entsprechend:
\( \begin{aligned} &S_0 \rightarrow S \\ &S \rightarrow S B \mid A_a B_b \\ &A \rightarrow A_a B A_a \mid B_b A \mid \varepsilon\\ &B \rightarrow B_b B A \mid B_b B \\ &C \rightarrow B_b A \\ &E \rightarrow A_a B A_a \mid B_b A \mid \varepsilon \mid A E \mid A \end{aligned} \)

Umwandeln der Regeln in genau zwei Variablen oder eine Variable:
\( \begin{aligned} &S_0 \rightarrow S \\ &S \rightarrow S B \mid A_a B_b \\ &A \rightarrow A_a B A_a \rightarrow A_a B X \rightarrow A_a Y A_a \mid B b A \mid \varepsilon\\ &X \rightarrow A_a A \\ &Y \rightarrow B A_a \\ &B \rightarrow B_b B A \rightarrow B_b Z \\ &Z \rightarrow B A \\ &C \rightarrow B_b A \\ &E \rightarrow A_a B A_a \rightarrow A_a B X \rightarrow A_a Y A_a \mid B b A \mid \varepsilon \mid A E \mid A \end{aligned} \)

Abschließende CNF-Grammatik

Die endgültige Grammatik in CNF ist:
\( \begin{aligned} &S_0 \rightarrow S \\ &S \rightarrow S B \mid A_a B_b \\ &A \rightarrow A_a Y A_a \mid B b A \mid \varepsilon\\ &X \rightarrow A_a A \\ &Y \rightarrow B A_a \\ &B \rightarrow B_b Z \\ &Z \rightarrow B A \\ &C \rightarrow B_b A \\ &E \rightarrow A_a Y A_a \mid B b A \mid \varepsilon \mid A E \mid A\\ &A_a \rightarrow a \\ &B_b \rightarrow b \end{aligned} \)