Programm schreiben mit float in C

Question

Aufgabe:

Man schreibe ein Programm, das Sn , n = 0 , . . . , N , rekursiv gemäß S n = S n − 1 + 1 /n, S0 = 0 unter Verwendung des Datentyps float in C oder unter Verwendung des Datentyps float in C oder entsprechend in anderen Programmiersprachen bestimmt.

Dabei wähle man N derart, dass auf dem Rechner zum ersten Mal SN = SN − 1 gilt.

Was ergibt sich für N und für SN?

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Programm in C zur Bestimmung von SN und N

Um das Problem anzugehen, können wir ein C-Programm schreiben, das die gegebene rekursive Formel \(S_n = S_{n-1} + \frac{1}{n}\) mit \(S_0 = 0\) verwendet. Wir verwenden eine Schleife, um \(S_n\) für \(n = 1\) bis \(N\) zu berechnen, wobei \(N\) der erste Wert ist, für den \(S_N = S_{N-1}\) gilt. Das bedeutet, dass wir nach dem Punkt suchen, an dem die Zunahme durch das Hinzufügen von \(\frac{1}{n}\) zu klein ist, um vom Datentyp float dargestellt zu werden.

Der Kern des Programms beinhaltet:

1. Eine Schleife, die von n = 1 startet und inkrementiert wird, solange bis \(S_n = S_{n-1}\) erreicht ist.
2. In jedem Schritt wird die Formel zur Berechnung von \(S_n\) angewendet.
3. Nach jedem Schritt prüfen wir, ob \(S_n = S_{n-1}\) gilt. Aufgrund der Beschränkungen des Datentyps float wird es einen Punkt geben, an dem dieser Zustand erreicht wird, da die Präzision von float nicht unendlich ist.

Hier ist ein Beispielprogramm in C:

c
#include <stdio.h>

int main() {
    // Initialisierung der Variablen
    float S_prev = 0.0f, S = 0.0f;
    int n = 1;

    // Hauptschleife zur Berechnung von S_n
    do {
        S_prev = S;  // Speichern des vorherigen Werts von S
        S += 1.0f / n;  // Berechnung des neuen Werts von S
        
        // Wenn S und S_prev gleich sind, ist der Point-of-Equality erreicht
        if(S == S_prev) {
            printf("N = %d bei dem SN = SN-1 (%f = %f)\n", n, S, S_prev);
            break;
        }

        n++;  // Erhöhen von n für den nächsten Durchlauf
    } while(1);  // Endlosschleife, die durch break beendet wird

    return 0;
}

Hinweise zur Problemlösung

- Dieses Programm verwendet den Typ float, um die Werte von \(S_n\) zu speichern. Beim Datentyp float in C sollte man sich bewusst sein, dass er eine begrenzte Präzision hat, die dazu führt, dass ab einem bestimmten Punkt kleine Zuwächse (wie \(\frac{1}{n}\) für sehr große \(n\)) nicht mehr genau dargestellt werden können.
- Der do-while Loop wird hier verwendet, um sicherzustellen, dass die Schleife mindestens einmal durchlaufen wird, was für \(n = 1\) erforderlich ist, da \(S_0 = 0\) ist und wir beginnen, \(S_1\) zu berechnen.
- printf dient zur Ausgabe von \(N\) und den entsprechenden \(S_N\) Werten.

Das Programm wird laufen, bis es einen Punkt (\(N\)) findet, an dem der Zuwachs von \(S_N\) zu klein ist, um sich auf den Wert von \(S\) auszuwirken, wodurch \(S_N = S_{N-1}\) wird. Dieses \(N\) und der zugehörige Wert von \(S_N\) sind die gesuchten Ergebnisse.