Antwort mit KI erzeugt
Lösung zu Aufgabe a)
Für die effiziente Lokalisierung eines lokalen Minimums auf einem Schachbrett nutzen wir ein Teile-und-Herrsche Prinzip, ähnlich zu dem im Finden eines lokalen Minimums in einem 1D-Array, jedoch erweitert auf zwei Dimensionen. Die grundlegende Idee besteht darin, das Problem rekursiv in kleinere Teilprobleme zu zerlegen, indem man das Schachbrett halbiert, sowohl horizontal als auch vertikal, und dann systematisch die Bereiche untersucht, in denen ein lokales Minimum vorkommen könnte. Der Unterschied zu einem linearen Array besteht darin, dass wir nicht nur in einer Richtung, sondern in vier Quadranten suchen müssen.
Schritte des Algorithmus:
1. Beginne mit dem gesamten Schachbrett als dem Gebiet für die Suche.
2. Finde den Median der mittleren Zeile und der mittleren Spalte, d.h., finde die Elemente mit dem kleinsten Wert in der Mitte jedes Bereichs.
3. Vergleiche diesen Median mit seinen bis zu 8 Nachbarn, um zu bestimmen, ob es sich um ein lokales Minimum handelt.
- Wenn der Wert des Medians kleiner als der seiner Nachbarn ist, dann ist dieses Feld ein lokales Minimum, und der Algorithmus wird beendet.
- Wenn nicht, gehe wie folgt vor: Unter der Annahme, dass ein Nachbarwert kleiner ist (gibt es mehrere, kann beliebig einer gewählt werden), bewegen wir uns zu dem Quadranten, der diesen Nachbarn enthält. Dieser Schritt garantiert, dass wir uns auf einen Bereich zubewegen, in dem ein lokales Minimum existieren muss.
4. Wiederhole die Schritte 2 und 3 rekursiv im ausgewählten Quadranten.
Die Korrektheit dieses Algorithmus basiert auf der Tatsache, dass es durch die Auswahl des kleineren Nachbarn und die Bewegung in diesen Quadranten immer einen Weg "abwärts" gibt, bis wir auf ein lokales Minimum stoßen. Da die Zahlen auf dem Schachbrett paarweise verschieden sind, muss dieser Prozess zu einem lokalen Minimum führen.
Lösung zu Aufgabe b)
Hier ist ein Pseudocode, der den zuvor beschriebenen Algorithmus repräsentiert:
Funktion findeLokalesMinimum(brett, startZeile, endZeile, startSpalte, endSpalte)
if startZeile == endZeile und startSpalte == endSpalte
return (startZeile, startSpalte)
mittelZeile = (startZeile + endZeile) / 2
mittelSpalte = (startSpalte + endSpalte) / 2
minZeileIndex, minZeilenWert = findeMinInZeile(brett, mittelZeile, startSpalte, endSpalte)
minSpalteIndex, minSpaltenWert = findeMinInSpalte(brett, mittelSpalte, startZeile, endZeile)
// Rekursiver Aufruf in dem passenden Quadranten
if minZeilenWert < minSpaltenWert
neueEndZeile = mittelZeile
neueStartSpalte = (minZeilenWert befindet sich links) ? startSpalte : mittelSpalte + 1
neueEndSpalte = (minZeilenWert befindet sich links) ? mittelSpalte : endSpalte
else
neueEndSpalte = mittelSpalte
neueStartZeile = (minSpaltenWert befindet sich oben) ? startZeile : mittelZeile + 1
neueEndZeile = (minSpaltenWert befindet sich oben) ? mittelZeile : endZeile
return findeLokalesMinimum(brett, neueStartZeile, neueEndZeile, neueStartSpalte, neueEndSpalte)
Dieser Pseudocode zeigt das grundlegende Gerüst des Algorithmus und lässt Detailimplementierungen wie die
findeMinInZeile und
findeMinInSpalte Funktionen, die die minimale Komponente in einer Zeile oder Spalte finden, offen.
Lösung zu Aufgabe c)
Die Laufzeit dieses Algorithmus lässt sich schwer in eine exakte Formel fassen, aber wir können eine obere Schranke angeben. In jedem Schritt des Algorithmus halbieren wir effektiv die Größe des zu untersuchenden Bereichs, d.h., die rekursive Tiefe ist in der Ordnung von \(O(\log n)\) in Bezug auf die Länge der Seite des Schachbretts. In jedem Schritt führen wir lineare Durchgänge durch eine Zeile und eine Spalte durch, was in \(O(n)\) resultiert. Daher liegt die Gesamtlaufzeit in \(O(n\log n)\).
Diese Analyse vernachlässigt kleinere operationelle und Rekursionsoverhead-Kosten, welche die genaue Laufzeit beeinflussen können, aber die generelle Performanz des Algorithmus bleibt \(O(n\log n)\), was deutlich effizienter ist als ein naiver \(O(n^2)\) Ansatz.
