Aussagenlogik für Informatik. n ist Vielfaches von 12 gdw (n ist Vielfaches von 3) und(…))

Question

Frage aus der Mathematik für Informatik. Es geht um Aussagenlogik. Jedoch nicht durch Beweisführung durch Wahrheitstafeln, sondern durch Schlüssen. Ich Verstehe hier jedoch überhaupt nicht wie vor gegangen wird.

Aufgabe:

Wir betrachten ein weiteres Beispiel. Dabei nennen wir ein \( n \in \mathbb{N} \) ein Vielfaches von einem \( m \in \mathbb{N} \), wenn es ein \( k \in \mathbb{N} \) so gibt, dass \( n=k m \). Wenn \( n \) ein Vielfaches von 2 ist, so nennen wir \( n \) gerade, sonst ungerade. Es ist leicht zu sehen, dass für jedes \( n \in \mathbb{N} \) gilt: \( n \) ist ungerade genau dann, wenn es \( k \in \mathbb{N} \) so gibt, dass \( n=2 k+1 \).

Ein \( m \in \mathbb{N} \) heißt Teiler von \( n \in \mathbb{N} \), wenn \( n \) ein Vielfaches von \( m \) ist. Ein \( n \in \mathbb{N} \) heißt Primzahl wenn \( n \geqslant 2 \) und \( n \) nur Vielfaches von 1 und von \( n \) ist, oder in anderen Worten: wenn \( n \geqslant 2 \) und 1 und \( n \) die einzigen Teiler von \( n \) sind. Als Beispiel betrachten wir:
1.3.3. Proposition. Für alle \( n \in \mathbb{N} \) gilt:
( \( n \) ist Vielfaches von 12\( ) \Leftrightarrow((n \) ist Vielfaches von 3\( ) \wedge(n \) ist Vielfaches von 4\( )) \)
Wir müssen hier eine Aussage der Form \( A \Leftrightarrow B \) zeigen. Das tun wir diesmal nicht über Wahrheitstafeln, sondern wir zeigen beide Implikationen getrennt, also wir zeigen \( A \Rightarrow B \) und \( B \Rightarrow A \). Dies geschieht jeweils über eine Folge von Implikationen.

Beweis von Proposition 1.3.3. Bezeichne die erste Aussage mit \( A \) und die zweite mit \( B \).
\( A \Rightarrow B \). Da \( n \) ein Vielfaches von 12 ist, finde \( m \in \mathbb{N} \) so, dass \( n=12 m \). Es folgt \( n= \) \( 12 m=3 \cdot 4 \cdot m=3 \cdot(4 \cdot m) \), da \( 4 m \in \mathbb{N} \) ist somit \( n \) ist Vielfaches von 3. Ferner folgt \( n=12 m=3 \cdot 4 \cdot m=4 \cdot 3 \cdot m=4 \cdot(3 \cdot m) \), da \( 3 m \in \mathbb{N} \) ist somit \( n \) ist Vielfaches von 4 . Wir haben gezeigt, dass \( n \) sowohl Vielfaches von 3 als auch von 4 ist. Das ist Aussage \( B \).
\( B \Rightarrow A \). Da \( n \) ein Vielfaches von 3 ist, finde \( k \in \mathbb{N} \) so, dass \( n=3 k \). Da \( n \) ein Vielfaches von 4 ist, finde \( l \in \mathbb{N} \) so, dass \( n=4 l \). Es gilt also \( 3 k=n=4 l \), also ist \( 4 l \) ein Vielfaches von 3. Da 4 kein Vielfaches von 3 ist und 3 eine Primzahl ist, muss mithin \( l \) ein Vielfaches von 3 sein. \( { }^{1} \) Also finde \( t \in \mathbb{N} \) so, dass \( l=3 t \). Gemeinsam ergibt das \( n=4 l=4(3 t)=12 t \), also ist \( n \) ein Vielfaches von 12. Das ist Aussage A.

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt:

Aussagenlogik für Informatik: Ein Vielfaches von 12 sein

Die Aufgabe behandelt die Beziehung zwischen Vielfachen von Zahlen in der Mathematik und illustriert, wie man mit logischen Schlüssen beweist, dass ein Naturzahl \(n\) genau dann ein Vielfaches von 12 ist, wenn es sowohl ein Vielfaches von 3 als auch von 4 ist. Dies ist ein klassisches Beispiel für die Anwendung der Aussagenlogik im Kontext der Mathematik, das ohne den Einsatz von Wahrheitstabellen gelöst wird.

Ausgehend von der Proposition: für alle \(n \in \mathbb{N}\) gilt:
\( (n \text{ ist Vielfaches von 12}) \Leftrightarrow ((n \text{ ist Vielfaches von 3}) \wedge (n \text{ ist Vielfaches von 4})) \)

Um diese Proposition zu beweisen, betrachten wir zwei separate Implikationen:

1. Beweis für \(A \Rightarrow B\)

Diese Richtung behauptet, dass wenn \(n\) ein Vielfaches von 12 ist, dann muss es sowohl ein Vielfaches von 3 als auch ein Vielfaches von 4 sein.

Um dies zu beweisen, starten wir mit der Annahme, dass \(n\) ein Vielfaches von 12 ist. Daher existiert ein \(m \in \mathbb{N}\), so dass \(n = 12m\).

Da \(12 = 3 \cdot 4\), kann \(n\) auch geschrieben werden als:

\(n = 3 \cdot 4m = 3(4m)\)

Da \(4m \in \mathbb{N}\) ist, folgt direkt, dass \(n\) ein Vielfaches von 3 ist.

Ebenso gilt:

\(n = 12m = 4 \cdot 3m = 4(3m)\)

Da \(3m \in \mathbb{N}\) ist, ist \(n\) somit auch ein Vielfaches von 4.

Somit haben wir gezeigt, dass wenn \(n\) ein Vielfaches von 12 ist, ist \(n\) auch ein Vielfaches von sowohl 3 als auch 4, was \(A \Rightarrow B\) beweist.

2. Beweis für \(B \Rightarrow A\)

Diese Richtung behauptet, dass wenn \(n\) ein Vielfaches sowohl von 3 als auch von 4 ist, dann ist \(n\) auch ein Vielfaches von 12.

Betrieben wir, dass \(n\) Vielfache von 3 und 4 ist. Daher existieren \(k, l \in \mathbb{N}\) so, dass \(n=3k\) und gleichzeitig \(n=4l\).

Da \(3k = 4l\), und da 3 eine Primzahl ist und 4 kein Vielfaches von 3 darstellt, muss \(l\) daher ein Vielfaches von 3 sein. Dies führt uns zu einem \(t \in \mathbb{N}\), sodass \(l = 3t\).

Folglich ergibt sich:

\(n = 4l = 4(3t) = 12t\)

Somit können wir sehen, dass \(n\) ein Vielfaches von 12 ist, was \(B \Rightarrow A\) beweist.

Zusammenfassung:

Durch das Beweisen beider Richtungen, \(A \Rightarrow B\) und \(B \Rightarrow A\), haben wir erfolgreich gezeigt, dass ein Naturzahl \(n\) genau dann ein Vielfaches von 12 ist, wenn es sowohl ein Vielfaches von 3 als auch von 4 ist. Dies illustriert, wie die Aussagenlogik angewendet wird, um mathematische Beziehungen zu beweisen, ohne auf Wahrheitstabellen zurückgreifen zu müssen.