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Die gegebene logische Formel \(\text{if } P \text{ then } Q \text{ else } R := P \land Q \lor \neg P \land R\) repräsentiert eine aussagenlogische Struktur, die auf eine Verzweigung der Bedingungen basiert. In der Aussagenlogik und im Sequenzenkalkül geht es darum, wie man von gegebenen Prämissen zu Schlussfolgerungen gelangt. Um dies für die gegebene Formel umzusetzen, müssen wir Links- und Rechts-Regeln etablieren, die zeigen, wie diese Formel in einem Beweis verwendet wird.
Links-Regel (L-Regel):
Für die linke Seite einer Sequenz bedeutet die Anwendung dieser Regel, dass wir davon ausgehen, dass die Bedingung \(P\) entweder wahr oder falsch ist. Wenn \(P\) gilt, sollten wir zeigen können, dass \(Q\) aus der linksseitigen Menge der Prämissen folgt. Wenn \(P\) jedoch nicht gilt, sollte \(R\) aus dieser Menge folgen. So teilt die Regel den Beweis in zwei Fälle auf:
1. Fall: \(P\) ist wahr.
2. Fall: \(P\) ist nicht wahr (\(\neg P\)).
Formal ausgedrückt könnte die Links-Regel wie folgt dargestellt werden:
\(
\frac{\Gamma, P, Q \vdash \Delta \quad \Gamma, \neg P, R \vdash \Delta}{\Gamma, P \land Q \lor \neg P \land R \vdash \Delta}
\)
Diese Regel sagt aus, dass wenn wir sowohl aus \(\Gamma, P, Q\) als auch aus \(\Gamma, \neg P, R\) eine Schlussfolgerung zu \(\Delta\) ziehen können, wir auch aus \(\Gamma\) zusammen mit der gegebenen Bedingungsstruktur zu \(\Delta\) gelangen können.
Rechts-Regel (R-Regel):
Für die rechte Seite einer Sequenz zeigt die Regel auf, wie wir zur gegebenen Struktur gelangen können, wenn wir annehmen, dass die Bedingung \(P\) oder ihre Negation \(\neg P\) erfüllt ist, um entweder \(Q\) oder \(R\) zu erhalten:
1. Fall: \(P\) ist wahr und führt zu \(Q\).
2. Fall: \(P\) ist nicht wahr (\(\neg P\)) und führt zu \(R\).
Die Formulierung könnte wie folgt aussehen:
\(
\frac{\Gamma \vdash P, Q, \Delta \quad \Gamma \vdash \neg P, R, \Delta}{\Gamma \vdash P \land Q \lor \neg P \land R, \Delta}
\)
Das bedeutet, dass wenn wir zur Schlussfolgerung \(Q\) unter der Annahme \(P\) kommen können und gleichzeitig zu \(R\) unter der Annahme \(\neg P\), dann können wir auch die kombinierte Struktur \(P \land Q \lor \neg P \land R\) als Schlussfolgerung annehmen.
Begründung:
Diese Regeln sind solide begründet auf der Basis der Funktionsweise von Konditionalstrukturen in der Logik. Die Links-Regel reflektiert, wie man eine solche Struktur aufteilt und einzeln mit ihren Teilen umgeht, während die Rechts-Regel zeigt, wie man diese Struktur aufbaut oder zusammensetzt, basierend auf den Bedingungen und ihren möglichen Ergebnissen. Diese Regeln erlauben in Beweisen eine präzise und strukturierte Handhabung konditionaler Logik, indem sie die Möglichkeit bieten, auf Bedingungen und ihre Konsequenzen direkt einzugehen.
