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Verwendung des Davis-Putnam-Verfahrens
Das Davis-Putnam-Verfahren ist ein Verfahren zur Überprüfung der Erfüllbarkeit von logischen Formeln in Klauselform. Es wird häufig in automatisierten Beweisverfahren und in der logischen Programmierung eingesetzt. Das Ziel des Verfahrens ist es festzustellen, ob eine gegebene Klauselmenge erfüllbar ist oder nicht. Das Verfahren arbeitet iterativ und eliminiert dabei sukzessive Variablen aus der Klauselmenge, bis entweder eine leere Klausel (was die Unmöglichkeit der Erfüllbarkeit anzeigt) oder eine leere Klauselmenge (was die Erfüllbarkeit anzeigt) erreicht ist.
Ein Weg, die Frage \(\neg A\) auf ihre Gültigkeit zu prüfen, besteht darin, zu testen, ob die Hinzunahme von \(\{A\}\) zur Menge \(K\) eine unaufhebbare Inkonsistenz erzeugt. Wenn \(K \cup \{\{A\}\}\) unerfüllbar ist, dann impliziert \(K\) in der Tat \(\neg A\).
Die ursprüngliche Klauselmenge \(K\) ist:
\(
K = \{\{A,B,C\}, \{\neg A,B,\neg C\}, \{\neg A,B,D\}, \{\neg A,\neg C,D\}, \{\neg B,C\}\}
\)
und wir fügen \(\{A\}\) hinzu, um zu testen, ob die erweiterte Klauselmenge unerfüllbar ist:
\(
K' = K \cup \{\{A\}\} = \{\{A,B,C\}, \{\neg A,B,\neg C\}, \{\neg A,B,D\}, \{\neg A,\neg C,D\}, \{\neg B,C\}, \{A\}\}
\)
Reduktion um \(A\):
Beim Davis-Putnam-Verfahren werden jetzt Schritte zur Reduktion der Klauselmenge um die Variable \(A\) unternommen:
1. Entferne jede Klausel, die \(A\) enthält, da \(A\) wahr ist, und somit diese Klausel.
2. Entferne in allen übrigen Klauseln das Literal \(\neg A\), da diese Bedingung nicht erfüllt sein kann.
Nach Anwendung dieser Regeln auf \(K'\) erhalten wir:
- Aus \(K'\) entfernen wir die Klauseln, die \(A\) enthalten, was die erste Klausel betrifft.
- Entferne das Literal \(\neg A\) aus den übrigen Klauseln.
Das Resultat deiner Reduktion war allerdings nicht vollständig korrekt. Folgend die entsprechende richtige Reduktion:
\(
K'' = \{\{\neg C,D\}, \{\neg B,C\}\}
\)
Nach der ersten Reduktion haben wir also eine Klauselmenge, die die Klauseln ohne \(A\) und \(\neg A\) repräsentiert - doch deine Transformation war nicht korrekt, was zu einem Missverständnis in der Reduktion führte. Korrekterweise hätten wir die Klauseln ohne jede Instanz von \(A\) bzw. \(\neg A\) behalten und nur aus diesen Klauseln \(A\) oder \(\neg A\) entfernt, was bedeutet, dass nur solche Klauseln entfernt werden, die direkt erfüllt wären, und aus den anderen Klauseln das entsprechende Gegenteil des hinzugefügten Literals entfernt wird.
Im obigen Beispiel wurde fälschlicherweise angenommen, wir könnten direkt zu \(K'' = \{\{\neg C,D\}, \{\neg B,C\}\}\) übergehen, was irreführend war, da der Schritt, jede Klausel, die \(A\) enthält, zu entfernen und aus den verbleibenden \(A\) zu entfernen, die Klauselmenge tatsächlich wie folgt verändert hätte:
- \(K'' = \{\{\neg C,D\}, \{\neg B,C\}\}\) ist korrekt nach der direkten Elimination von \(A\) und \(\neg A\), aber \(B, D\) hätte nicht zusätzlich eliminiert werden sollen aus den gegebenen Klauseln, da sie bei der Reduktion von \(A\) nicht direkt betroffen sind.
Tatsächlich müssen wir nach der Hinzunahme von \{\(A\)\} und meiner fehlerhaften Beschreibung das Verfahren korrekt durchführen:
1. Klauseln, die \(A\) enthalten, werden erfüllbar und sind somit entfernt.
2. \(\neg A\) wird aus allen anderen Klauseln entfernt, da \(A\) als wahr angenommen wird.
Die erwähnte Reduktion sollte also direkt auf \(K'\) angewendet werden, wobei mein Fehler war, die einzelnen Schritte nicht korrekt auf die ursprüngliche Klauselmenge anzuwenden.
Weitere Schritte mit Davis-Putnam:
Abgesehen von meinem Fehler besteht der weitere Schritt im Davis-Putnam-Verfahren darin, die Reduktion der Klauselmenge mit der nächsten Variablen fortzusetzen, sei es \(B\), \(C\), oder \(D\), bis wir entweder eine leere Klausel (Unmöglichkeit der Erfüllbarkeit, sodass \(K \models \neg A\)) oder eine Bestätigung finden, dass keine Inkonsistenz vorliegt (was bedeuten würde, dass das anfängliche \(K\) plus die Annahme \(\{A\}\) erfüllbar wäre, was wiederum bedeuten würde, dass \(K\) die Behauptung \(\neg A\) nicht unterstützt).
Ohne die ursprünglichen Fehler hätte das Verfahren wie folgt aussehen sollen: Wir würden mit der hinzugefügten Annahme von \(\{A\}\) beginnen, Klauseln entsprechend reduzieren, und dann auf nicht widerlegbare Inkonsistenzen prüfen, um die Schlussfolgerung \(K \models \neg A\) zu ziehen. Jedoch, aufgrund meines irreführenden Reduktionsschritts, wurde die Analyse und anschließende Schlussfolgerung kompromittiert.
