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Aussagen über binäre Suchbäume zeigen
Ein binärer Suchbaum ist eine spezielle Datenstruktur, in der jeder Knoten maximal zwei Kinder hat: ein linkes und ein rechtes Kind. Für jeden Knoten im Baum gilt, dass alle Werte im linken Teilbaum kleiner als der Wert des Knotens und alle Werte im rechten Teilbaum größer als der Wert des Knotens sind.
Um die Aussage zu prüfen, müssen wir zwei Fälle betrachten:
1.
Ein Knoten im binären Suchbaum hat zwei Kinder.
Der
Nachfolger eines Knotens in einem binären Suchbaum ist der Knoten mit dem kleinsten Wert, der größer als der Wert des gegebenen Knotens ist. Um den Nachfolger eines Knotens zu finden, der zwei Kinder hat, gehen wir zu seinem rechten Kind und dann so weit wie möglich nach links. Der Knoten, bei dem wir enden, ist der direkte Nachfolger. Dieser Knoten kann kein linkes Kind haben, denn hätte er eines, wäre dieses linke Kind (oder ein weiteres Kind weiter unten links) tatsächlich der Nachfolger, was im Widerspruch zur Wahl unseres Nachfolgers stünde.
Analog ist der
Vorgänger eines Knotens in einem binären Suchbaum der Knoten mit dem größten Wert, der kleiner als der Wert des gegebenen Knotens ist. Um den Vorgänger zu finden, gehen wir zu seinem linken Kind und von dort so weit wie möglich nach rechts. Der Knoten, bei dem wir enden, ist der direkte Vorgänger. Dieser Knoten kann kein rechtes Kind haben, denn hätte er eines, wäre dieses rechte Kind (oder ein weiteres Kind weiter unten rechts) tatsächlich der Vorgänger, was ebenfalls einen Widerspruch darstellen würde.
Schlussfolgerung:
Die Aussage "Hat ein Knoten in einem binären Suchbaum zwei Kinder, so hat sein Nachfolger kein linkes Kind und sein Vorgänger kein rechtes Kind" ist korrekt.
2.
Ein Knoten mit nur einem Kind
Wenn der Knoten nur ein Kind hat, gibt es zwei Möglichkeiten:
- Der Knoten hat nur ein linkes Kind: Dies könnte den Nachfolger des Knotens beeinflussen, wenn der Baum so strukturiert ist, dass das linke Kind Nachfolgerattribute erfüllt. In einem gut strukturierten binären Suchbaum würde dies jedoch nicht auftreten, da der Nachfolger in der Regel in einem anderen Zweig des Baumes zu finden ist.
- Der Knoten hat nur ein rechtes Kind: In diesem Fall könnte dieser Teilbaum den direkten Nachfolger enthalten (der kleinste Knoten im rechten Teilbaum). Dieser Teil der Aussage bleibt unberührt, da der Nachfolger kein linkes Kind haben würde. Es gibt jedoch keinen direkten Einfluss auf den Vorgänger bezüglich des Nichtvorhandenseins eines rechten Kindes, da der Vorgänger von dem einzigen vorhandenen Kind unabhängig ist und in einem anderen Teil des Baumes gefunden wird.
Schlussfolgerung für einen Knoten mit nur einem Kind:
Für Knoten mit nur einem Kind ist die ursprüngliche Aussage nicht direkt anwendbar, da die Bedingungen und die Struktur des Baumes variiert. Die spezifische Aussage über den Nachfolger und den Vorgänger bezieht sich explizit auf die Situation, in der beide Kinder vorhanden sind. Knoten mit nur einem Kind folgen anderen Mustern beim Bestimmen des Nachfolgers und Vorgängers, welche von der spezifischen Struktur des Baumes und der Position des einzelnen Kindes abhängt.
