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Beweis der Äquivalenz der folgenden zwei Aussagen:
Wir haben einen ungerichteten Graphen \(G(V, E)\) und möchten zeigen, dass die folgenden zwei Aussagen äquivalent sind:
1. \(G\) ist zusammenhängend.
2. Für alle \(V' \subset V\) mit \(V' \neq \emptyset\) und \(V' \neq V\), gibt es einen Knoten \(u' \in V'\) und einen Knoten \(u \in V \setminus V'\) mit \(\{u, u'\} \in E\).
Teil 1: Zeigen, dass aus (1) folgt (2):
Angenommen, \(G\) ist zusammenhängend. Das bedeutet, dass zwischen jedem Paar von Knoten in \(G\) ein Pfad existiert. Nun nehmen wir ein nicht-leeres echtes Teilset \(V'\) von \(V\). Da \(V'\) nicht alle Knoten von \(V\) enthält, gibt es mindestens einen Knoten \(u\) in \(V \setminus V'\). Aufgrund der Zusammenhängendkeit von \(G\) muss es einen Pfad von einem Knoten \(u'\) in \(V'\) zu \(u\) geben. Da \(u\) direkt außerhalb von \(V'\) ist, und der Pfad \(G\) zusammenhängend ist, muss es eine direkte Kante \(\{u, u'\}\) zwischen \(u\) und \(u'\) mit \(u' \in V'\) und \(u \in V \setminus V'\) geben. Somit ist Aussage (2) wahr, wenn (1) wahr ist.
Teil 2: Zeigen, dass aus (2) folgt (1):
Angenommen, Aussage (2) ist wahr. Wir müssen zeigen, dass \(G\) zusammenhängend ist. Nehmen wir an, \(G\) wäre nicht zusammenhängend. Dann gäbe es mindestens zwei Komponenten in \(G\), sagen wir \(K_1\) und \(K_2\), die durch keine Kante verbunden sind. Sei \(V' = K_1\) die Knotenmenge einer solchen Komponente. Da \(G\) keine Kante zwischen \(K_1\) und \(K_2\) hat, findet man keinen Knoten \(u\) in \(V \setminus V'\) (das wäre in \(K_2\)), der durch eine Kante mit einem Knoten \(u'\) in \(V'\) (das wäre in \(K_1\)) verbunden ist. Das steht im Widerspruch zu Aussage (2). Somit, wenn (2) wahr ist, muss \(G\) zusammenhängend sein.
Fazit:
Wir haben gezeigt, dass aus \(G\) zusammenhängend folgt, dass für jedes nicht-leere echte Teilset \(V'\) von \(V\) eine Kante zwischen einem Knoten in \(V'\) und einem in \(V \setminus V'\) besteht, und umgekehrt, wenn es für jedes solche \(V'\) eine solche Kante gibt, der Graph \(G\) zusammenhängend sein muss. Damit haben wir die Äquivalenz der beiden Aussagen bewiesen.
