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Beweis:
Zu zeigen ist, dass ein ungerichteter Graph \(G = (V, E)\), der \(k\)-fach zusammenhängend ist, nicht durch das Entfernen von \(k - 1\) Knoten unzusammenhängend werden kann, solange \(|V| \geq k + 1\).
Definition \(k\)-fach Zusammenhang: Ein Graph \(G\) gilt als \(k\)-fach zusammenhängend, wenn er mindestens \(k+1\) Knoten besitzt und erst durch Entfernen von mindestens \(k\) Knoten unzusammenhängend wird. Anders gesagt, zwischen jedem Paar von Knoten in \(G\) gibt es mindestens \(k\) knoten-disjunkte Pfade, die diese Knoten miteinander verbinden. Das bedeutet, dass \(G\) noch zusammenhängend bleibt, solange weniger als \(k\) Knoten entfernt werden.
Beweisschritte:
1.
Annahme für Widerspruch: Angenommen, der Graph \(G\) wird unzusammenhängend durch das Entfernen von \(k - 1\) Knoten. Das würde bedeuten, dass mindestens zwei Knoten in \(G\) existieren, die nach dem Entfernen dieser \(k - 1\) Knoten nicht mehr durch einen Pfad in \(G\) verbunden sind.
2.
Widerspruch zur Definition von \(k\)-fach Zusammenhang: Diese Annahme steht jedoch im direkten Widerspruch zur Definition von \(k\)-fach zusammenhängenden Graphen. Ein \(k\)-fach zusammenhängender Graph kann definitionsgemäß nicht durch das Entfernen von weniger als \(k\) Knoten unzusammenhängend werden. Für jeden Knoten und jede Knotenkombination in \(G\) gibt es mindestens \(k\) unabhängige Pfade, die dies verhindern. Wenn durch das Entfernen von \(k - 1\) Knoten der Graph unzusammenhängend wird, würde das bedeuten, dass weniger als \(k\) unabhängige Pfade zwischen einigen Knoten existieren, was der Definition des \(k\)-fachen Zusammenhangs widerspricht.
3.
Schlussfolgerung: Da die Annahme zum Widerspruch der Definition eines \(k\)-fach zusammenhängenden Graphen führt, muss sie falsch sein. Das bedeutet, ein \(k\)-fach zusammenhängender Graph kann nicht durch das Entfernen von \(k - 1\) Knoten unzusammenhängend werden. Dies bleibt wahr, solange wir die Voraussetzung haben, dass der Graph mindestens \(k + 1\) Knoten enthält (was notwendig ist, damit der Graph überhaupt als \(k\)-fach zusammenhängend betrachtet werden kann).
Somit ist gezeigt, dass ein ungerichteter, \(k\)-fach zusammenhängender Graph \(G\) mit \(|V| \geq k + 1\) Knoten nicht durch das Entfernen von \(k - 1\) Knoten unzusammenhängend werden kann.
